Domínio integralmente fechado
Em álgebra comutativa, um domínio integralmente fechado A é um domínio de integridade cujo fecho integral no seu corpo de frações é ele mesmo. Muitos domínio bem estudados são integralmente fechados: corpos, o anel dos inteiros Z, domínios de fatoração única e anéis locais regulares são todos integralmente fechados.
Considere (k um corpo). A e B tem o mesmo corpo de frações, e B é o fecho integral de A (pois B é domínio de fatoração única). Em outras palavras, A não é integralmente fechado. Isto é relacionado com o fato da curva ter uma singularidade na origem.
![{\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165d2b60c645207d4f6b986a6a5a39e4cebd1ffd)
Seja A um domínio integralmente fechado com corpo de frações K e uma extensão finita L de K. Então x em L é integral sobre A se, e somente se, seu polinômio minimal sobre K tem coeficiente em A. Isto implica que em particular um elemento integral sobre um domínio integralmente fechado tem polinomio minimal sobre A: isto é mais forte que um elemento integral satisfazendo algum polinomio mônico. De fato, o mesmo resultado é falso sem "integralmente fechado" (considere ).
![{\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9a3db0732ab512813d4f0090fe0ddf1e5a5622)
Domínios integralmente fechados também tem um papel importante na hipótese do Teorema do Going-Down. O teorema estabelece que se A⊆B é uma extensão integral de domínios e A é um domínio integralmente fechado, então a propriedade do going-down vale para a extensão A⊆B.
Referências
[editar | editar código-fonte]- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.
- Matsumura, Hideyuki (1970) Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9.
