Função linear

 Nota: Para o uso do termo em cálculo, veja Função linear (cálculo).

Na matemática, o termo função linear se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:^[1]

• No cálculo e em áreas afins, uma função linear é uma função cujo gráfico [en] é uma linha reta, ou seja, uma função polinomial [en] de grau zero ou um.^[2] Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo função afim é frequentemente usado.^[3]
• Na álgebra linear, na análise matemática^[4] e na análise funcional, uma função linear é um mapa linear.^[5]

Como uma função polinomial

Ver artigo principal: Função linear (cálculo)

Gráficos de duas funções lineares.

No cálculo, na geometria analítica e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zero [en] (este último não sendo considerado como tendo grau zero).

Quando a função é de apenas uma variável, ela é da forma

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

onde a e b são constantes, frequentemente números reais. O gráfico [en] de tal função de uma variável é uma linha não vertical. a é frequentemente referido como a inclinação da linha e b como a interceptação.

Se a > 0, então o gradiente é positivo e o gráfico se inclina para cima.

Se a < 0, então o gradiente é negativo e o gráfico se inclina para baixo.

Para uma função ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$ de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

e o gráfico é um hiperplano de dimensão k.

Uma função constante também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.

Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear homogênea ou forma linear. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afins [en] de valor escalar.

Como um mapa linear

Ver artigo principal: Mapa linear

A integral de uma função é um mapa linear do espaço vetorial de funções integráveis para os números reais.

Na álgebra linear, uma função linear é um mapa f entre dois espaços vetoriais s.t.

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Aqui a denota uma constante pertencente a algum campo K de escalares (por exemplo, os números reais) e x e y são elementos de um espaço vetorial, que pode ser o próprio K.

Em outros termos, a função linear preserva a adição vetorial [en] e a multiplicação escalar.

Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar;^[6] estes são mais comumente chamados de formas lineares.

As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) f(0, ..., 0) = 0, ou, equivalentemente, quando a constante b é igual a zero no polinômio de um grau acima. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

Ver também

• Aproximação linear
• Função homogênea
• Função linear em partes
• Interpolação linear
• Mapa linear descontínuo [en]

• Sistema não linear
• Mínimo de quadrados linear [en]

Notas

1. "O termo função linear significa uma forma linear em alguns livros e uma função afim em outros." Vaserstein (2006), página(s) 50 - 51
2. Stewart (2012), página 23
3. A. Kurosh (1975). Higher algebra (em inglês). [S.l.]: Mir publishers. p. 214 
4. T. M. Apostol (1981). Mathematical analysis (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. p. 345 
5. Shores (2007), página 71
6. Gelfand (1961)

Referências

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear algebra (em inglês), Interscience publishers, Inc., Nova York. Reimpresso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Thomas S. Shores (2007), Applied linear algebra and matrix analysis (em inglês), Undergraduate texts in mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
• James Stewart (2012), Calculus: Early transcendentals (em inglês), edição 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie Hogben [en], ed., Handbook of linear algebra (em inglês), Discrete mathematics and its applications (em inglês), Chapman and Hall/CRC, capítulo 50. ISBN 1-584-88510-6