Fórmula de Dynkin

Em matemática, especificamente em processos estocásticos, a fórmula de Dynkin é um teorema que dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō em um tempo de parada. Pode ser vista como a generalização estocástica do (segundo) teorema fundamental do cálculo. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Eugene Dynkin.

Afirmação

Considere ${\displaystyle X}$ a difusão de Itō com valor em ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ que resolve a equação diferencial estocástica

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.\ }$

Para um ponto ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, considere que ${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$ denota a lei de ${\displaystyle X}$, sendo o dado inicial ${\displaystyle X_{0}=x}$, e que ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}$ denota o valor esperado em relação a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$.

Considere ${\displaystyle A}$ o gerador infinitesimal de ${\displaystyle X}$, definido por sua ação em funções ${\displaystyle C^{2}}$compactamente suportadas (duplamente diferenciáveis com segunda derivada contínua) ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} }$, conforme

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}\ }$

ou, equivalentemente,

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).\ }$

Considere que ${\displaystyle \tau }$ é um tempo de parada com ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[\tau ]<+\infty }$ e ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle C^{2}}$ com suporte compacto. Então, a fórmula de Dynkin afirma que:^[1]

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].\ }$

Na verdade, se ${\displaystyle \tau }$ for o primeiro tempo de saída para um conjunto limitado ${\displaystyle B\subset \mathbf {R} ^{n}}$ com ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[\tau ]<+\infty }$, então, a fórmula de Dynkin se aplica para todas as funções ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$, sem o pressuposto do suporte compacto.

Exemplo

A fórmula de Dynkin pode ser usada para encontrar o primeiro tempo de saída esperado ${\displaystyle t_{K}}$ do movimento browniano ${\displaystyle B}$ da bola fechada

${\displaystyle K=K_{R}=\{x\in \mathbf {R} ^{n}|\,|x|\leq R\},}$

que, quando ${\displaystyle B}$ começa em um ponto ${\displaystyle a}$ no interior de ${\displaystyle K}$, é dado por

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

Escolha um número inteiro ${\displaystyle j}$. A estratégia é aplicar a fórmula de Dynkin com ${\displaystyle X=B}$, ${\displaystyle \tau =\sigma j=\min(j,\tau _{K})}$ e uma função ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ com ${\displaystyle f(x)=\left\vert x\right\vert ^{2}}$em ${\displaystyle K}$. O gerador do movimento browniano é ${\displaystyle {\frac {\Delta }{2}}}$, em que ${\displaystyle \Delta }$ denota o operador de Laplace. Por isso, pela fórmula de Dynkin,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]}$

${\displaystyle =f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

${\displaystyle =|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]}$

${\displaystyle =|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].}$

Assim, para qualquer ${\displaystyle j}$,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

Agora, considere ${\displaystyle j\rightarrow +\infty }$ para concluir que ${\displaystyle \tau _{K}=\lim _{j\rightarrow +\infty }\sigma j<+\infty }$ quase certamente e

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )},}$

como afirmado.^[2]

Referências

1. Dynkin, Eugene B. (1965). Markov Processes (em inglês). [S.l.]: Academic Press 
2. Oksendal, Bernt (17 de abril de 2013). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662025741