Média de Heinz

Em matemática, a média de Heinz (nomeada em honra de E. Heinz^[1]) de dois números reais não negativos A e B, foi definida por Bhatia^[2] como:

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(A,B)={\frac {A^{x}B^{1-x}+A^{1-x}B^{x}}{2}}.}$

com  0 ≤ x ≤ 12. Para valores diferentes de x, essa média de Heinz interpola entre a média aritmética (x = 0) e geométrica (x = 1/2) tal que para 0 < x < 12:

${\displaystyle {\sqrt {AB}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(A,B)<\operatorname {H} _{x}(A,B)<\operatorname {H} _{0}(A,B)={\frac {A+B}{2}}.}$

A média de Heinz também pode ser definida da mesma maneira para as matrizes semidefinidas positivas e satisfaz uma fórmula de interpolação similar.^[3][4][5]

Veja também

• Média
• Desigualdade de médias aritméticas e geométricas

Referências

1. E. Heinz (1951), "Beiträge zur Störungstheorie der Spektralzerlegung", Math. Ann., 123, pp. 415–438.
2. Bhatia, R. (2006), «Interpolating the arithmetic-geometric mean inequality and its operator version», Linear Algebra and its Applications, 413 (2–3): 355–363, doi:10.1016/j.laa.2005.03.005 .
3. Bhatia, R.; Davis, C. (1993), «More matrix forms of the arithmetic-geometric mean inequality», SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14 (1): 132–136, doi:10.1137/0614012 .
4. Audenaert, Koenraad M.R. (2007), «A singular value inequality for Heinz means», Linear Algebra and its Applications, 422 (1): 279–283, arXiv:math/0609130, doi:10.1016/j.laa.2006.10.006 .
5. Daeshik Choi, About Heinz Mean Inequalities], Int. J. Anal. Appl., 15 (1) (2017), 57-61.

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