Modelo Galves-Löcherbach

Vizualização 3D do modelo de Galves-Löcherbach simulando os disparos de 4000 neurônios (4 camadas com uma população de neurônios inibitórios e uma população de neurônios excitatórios cada) em 180 intervalos de tempo.

O Modelo Galves-Löcherbach é um modelo com estocasticidade intrínseca para redes de neurônios, no qual a probabilidade de disparos futuros é dependente da evolução total do sistema desde o último disparo.^[1] Esse modelo de redes neurais foi desenvolvido pelos matemáticos Antonio Galves e Eva Löcherbach. No artigo original, de 2013, os autores chamaram o modelo de "sistema de cadeias estocásticas com memória de alcance variável interagindo entre si".

História

Algumas inspirações do modelo são o sistema de partículas em interação de Frank Spitzer e a noção de cadeias estocásticas com memória de alcance variável de Jorma Rissanen. Outro trabalho que o influenciou inclui o estudo de Bruno Cessac com o modelo integra-e-dispara com vazamento, que por sua vez teve influência de Hédi Soula.^[2] Os próprios autores chamaram o processo apresentado por Cessac de "uma versão em dimensão finita" do modelo probabilístico.

Modelos anteriores de integra-e-dispara com características estocásticas necessitavam a inserção de um ruído para simular a estocasticidade.^[3] Esse modelo se destaca por ser inerentemente estocástisco, incorporando questões probabilísticas diretamente no cálculo dos disparos. Ele também é um modelo de implementação relativamente simples, do ponto de vista computacional, com uma boa relação entre custo e eficiência. É também um modelo não-markoviano, pois a probabilidade da ocorrência de um disparo de um neurônio dado depende da atividade acumulada do sistema desde o último disparo.

Desenvolvimentos do modelo foram realizados, contemplando a noção de limites hidrodinâmicos do sistema de neurônios em interação,^[4] o comportamento de longo prazo e aspectos referentes à estabilidade do processo no sentido de prever e classificar diferentes comportamentos como uma função dos parâmetros,^[5][6] e a generalização do modelo para tempo contínuo.^[7]

O modelo Galves-Löcherbach foi a pesquisa angular no desenvolvimento do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática.^[8]

Definição formal

O modelo supõe um conjunto enumerável de neurônios ${\displaystyle I}$, e modela sua evolução em instantes de tempo discretos ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$ por meio de uma cadeia estocástica ${\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ assumindo valores no espaço de estados ${\displaystyle \{0,1\}^{I}}$. Mais precisamente, para cada neurônio ${\displaystyle i\in I}$ e instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, definimos ${\displaystyle X_{t}(i)=1}$ se o neurônio ${\displaystyle i}$ dispar no instante de ${\displaystyle t}$, e ${\displaystyle X_{t}(i)=0}$ em caso contrário. A configuração do conjunto de neurônios, no instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, é então definida por ${\displaystyle X_{t}=(X_{t}(i),i\in I)}$. Para cada instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, definimos a sigma-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}(j),j\in I,s\leq t)}$, representando o histórico da evolução da atividade deste conjunto de neurônios até o instante de tempo em questão ${\displaystyle t}$. A dinâmica da atividade deste conjunto de neurônios é definida do seguinte modo. Fixado o histórico ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t-1}}$, os neurônios disparam ou não no instante de tempo seguinte ${\displaystyle t}$ independentemente uns dos outros, isto é, para cada subconjunto ${\displaystyle F\subset I}$ finito e qualquer configuração ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},i\in F,}$ tem-se que

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=a_{i},i\in I|{\mathcal {F}}_{t-1})=\prod _{i\in I}\mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=a_{i}|{\mathcal {F}}_{t-1})}$.

Além disso, a probabilidade de um dado neurônio ${\displaystyle i}$ disparar em um dado tempo ${\displaystyle t}$, de acordo com o modelo probabilístico, é dada pela fórmula

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Prob} } (X_{t}(i)=1|{\mathcal {F}}_{t-1})=\phi _{i}{\Biggl (}\sum _{j\in I}W_{j\rightarrow i}\sum _{s=L_{t}^{i}}^{t-1}g_{j}(t-s)X_{s}(j),t-L_{t}^{i}{\Biggl )}}$,

sendo ${\displaystyle W_{j\rightarrow i}}$ um peso sináptico que representa o aumento do potencial de ação do neurônio ${\displaystyle i}$ devido ao disparo do neurônio ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle g_{j}}$ é uma função que modela o vazamento de potencial e ${\displaystyle L_{t}^{i}}$ o momento de disparo mais recente do neurônio ${\displaystyle i}$ antes do tempo em questão ${\displaystyle t}$, de acordo com a fórmula

${\displaystyle L_{t}^{i}={\text{sup}}\{s<t:X_{s}(i)=1\}}$.

No instante ${\displaystyle s}$ anterior a ${\displaystyle t}$, o neurônio ${\displaystyle i}$ dispara, restaurando o potencial de ação ao valor inicial.

Ver também

• Modelos de disparos neuronais
• Modelo Hodgkin-Huxley
• Neurociência computacional
• NeuroMat

Referências

1. Galves, A.; Löcherbach, E. (junho de 2013). «Infinite Systems of Interacting Chains with Memory of Variable Length — A Stochastic Model for Biological Neural Nets». Journal of Statistical Physics. 151 (5): 896-921. doi:10.1007/s10955-013-0733-9 
2. Cessac, B. (junho de 2011). «A discrete time neural network model with spiking neurons: II: Dynamics with noise». Journal of Mathematical Biology. 62 (6): 863-900. PMID 20658138. doi:10.1007/s00285-010-0358-4 
3. E. Plesser, H.; Gerstner, W. (fevereiro de 2000). «Noise in integrate-and-fire neurons: from stochastic input to escape rates». Neural Computation. 12 (2): 367-384. PMID 10636947. doi:10.1162/089976600300015835 
4. De Masi, A.; Galves, A.; Löcherbach, E.; Presutti, E. (2015). «Hydrodynamic limit for interacting neurons». Journal of Statistical Physics. 158 (4): 866-902. doi:10.1007/s10955-014-1145-1 
5. Duarte, A.; Ost, G. (2016). «A model for neural activity in the absence of external stimuli». Markov Processes And Related Fields. 22 (1): 37-52. doi:10.48550/arXiv.1410.6086 
6. Fournier, N.; Löcherbach, E. (novembro de 2016). «On a toy model of interacting neurons». Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52 (4): 1844-1876. doi:10.1214/15-AIHP701 
7. Yaginuma, K. (8 de março de 2016). «A stochastic system with infinite interacting components to model the time evolution of the membrane potentials of a population of neurons». Journal of Statistical Physics. 163: 642-658. doi:10.1007/s10955-016-1490-3 
8. Teixeira Ribeiro, Fernanda (junho de 2014). «Modelos matemáticos do cérebro» (PDF). Mente e Cérebro. Consultado em 14 de junho de 2023