Modelos ARCH

A heteroscedasticidade condicional auto-regressiva (autoregressive conditional heteroskedasticity ou ARCH, na sigla em ingês) é a condição em que há um ou mais pontos de dados para os quais a variância do atual termo de erro ou inovação é uma função dos tamanhos reais dos termos de erro dos intervalos de tempo anteriores.^[1] Frequentemente, a variância está relacionada com os quadrados das inovações anteriores. Em econometria, modelos ARCH são usados para caracterizar e modelar séries temporais.^[2] Uma variedade de outros acrônimos é aplicada a estruturas particulares com uma base semelhante.

Modelos ARCH são comumente empregados ao modelar séries temporais financeiras que exibem agrupamento de volatilidade variante com o tempo, isto é, períodos de instabilidade intercalados com períodos de relativa estabilidade.^[3] Modelos de tipo ARCH são às vezes considerados como parte da família dos modelos de volatilidade estocástica. No entanto, estritamente falando, isto está incorreto, já que, no tempo ${\displaystyle t}$, a volatilidade é completamente pré-determinada (determinística) dados os valores anteriores.^[4]

Especificação do modelo ARCH(${\displaystyle q}$)

Para modelar uma série temporal usando um processo ARCH, considere ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ os termos de erro (resíduos de retorno, em relação a um processo médio), isto é, os termos da série. Estes ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ são divididos em uma peça estocástica ${\displaystyle z_{t}}$ e um desvio padrão dependente de tempo ${\displaystyle \sigma _{t}}$ caracteriza o tamanho típico do termos, de modo que:

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}.}$

A variável aleatória ${\displaystyle z_{t}}$ é um processo forte de ruído branco. A série ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ é modelada por:

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+...+\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2},}$

em que ${\displaystyle \alpha _{0}>0}$ e ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,i>0}$. Um modelo ARCH(${\displaystyle q}$) pode ser estimado usando mínimos quadrados ordinários. Uma metodologia para testar a extensão do atraso dos erros ARCH usando o teste do multiplicador de Lagrange foi proposta por Robert Engle em 1982.^[2] O procedimento é como segue:

1. Estime o modelo auto-regressivo AR(${\displaystyle q}$) mais adequado ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+...+a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$;

2. Obtenha os quadrados do erro ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$ e regresse-os em uma constante e ${\displaystyle q}$ valores atrasados:

${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2},}$

em que ${\displaystyle q}$ é a extensão dos atrasos ARCH;

3. A hipótese nula é que, na ausência de componentes ARCH, temos ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i=1,...,q}$. A hipótese alternativa é que, na presença de componentes ARCH, pelo menos um dos coeficientes ${\displaystyle \alpha _{i}}$ estimados deve ser significante. Em uma amostra de ${\displaystyle T}$ resíduos sob a hipótese nula de nenhum erro ARCH, a estatística de teste ${\displaystyle T'R^{2}}$ segue distribuição ${\displaystyle \chi ^{2}}$ com ${\displaystyle q}$ graus de liberdade, em que ${\displaystyle T'}$ é o número de equações no modelo que adequa os resíduos tendo em vista os atrasos (isto é, ${\displaystyle T'=T-q}$). Se ${\displaystyle T'R^{2}}$ for maior que o valor qui-quadrado da tabela, rejeita-se a hipótese nula e conclui-se que há um efeito ARCH no modelo auto-regressivo de médias móveis (ARMA). Se ${\displaystyle T'R^{2}}$ for menor que o valor qui-quadrado da tabela, não se rejeita a hipótese nula.

GARCH

Se um modelo auto-regressivo de médias móveis (ARMA) for assumido para a variância do erro, tem-se um modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada (GARCH).^[5]

Neste caso, o modelo GARCH ${\displaystyle (p,q)}$ (em que ${\displaystyle p}$ é a ordem dos termos GARCH ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ e ${\displaystyle q}$ é a ordem dos termos ARCH ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$) é dado por:

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t},}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2}),}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+...+\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+...+\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}.}$

Geralmente, quando se testa a heteroscedasticidade em modelos econométricos, o melhor teste é o teste de White.^[6] Entretanto, quando se lida com dados de séries temporais, isso significa testar erros ARCH e GARCH.

O modelo de médias móveis exponencialmente ponderadas (EWMA) é um modelo alternativo em uma classe separada de modelos suavizantes exponenciais. Como uma alternativa à modelagem GARCH, tem algumas propriedades atraentes como um peso maior a observações mais recentes, mas algumas desvantagens como um fator arbitrário de decaimento que introduz subjetividade na estimação.

Especificação do modelo GARCH (${\displaystyle p,q}$)

A extensão do atraso ${\displaystyle p}$ de um processo GARCH(${\displaystyle p,q}$) é estabelecida em três passos:^[7]

1. Estime o modelo AR(${\displaystyle q}$) mais adequado:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+...+a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t};}$

2. Compute e mapeie as autocorrelações de ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$ por

${\displaystyle \rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}};}$

3. O desvio padrão assintótico, isto é, para grandes amostras, de ${\displaystyle \rho (i)}$ é ${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$. Valores individuais maiores que estes indicam erros GARCH. Para estimar o número total de atrasos, usa-se o teste de Ljung-Box até que o valor destes for menos que 10% significante. A estatística-Q de Ljung-Box segue distribuição ${\displaystyle \chi ^{2}}$ com ${\displaystyle n}$ graus de liberdade se os quadrados dos resíduos ${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$ não forem correlacionados. Recomenda-se considerar até ${\displaystyle T/4}$ valores de ${\displaystyle n}$. A hipótese nula afirma que não há erros ARCH ou GARCH. Rejeitar a hipótese nula significa então que tais erros existem na variância condicional.^[8]

NGARCH

O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada não linear (NGARCH), também conhecido como modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada assimétrica não linear ${\displaystyle (1,1)}$ (NAGARCH), é dado por:^[9]

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha (\epsilon _{t-1}-\theta \sigma _{t-1})^{2}+\beta \sigma _{t-1}^{2};}$

${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0;\omega >0.}$

Para retornos de ações, o parâmetro ${\displaystyle \theta }$ é geralmente estimado como positivo. Neste caso, reflete o efeito de alavanca, significando que retornos negativos aumentam a volatilidade futura por uma quantidade maior do que retornos positivos da mesma magnitude.^[9][10]

Este modelo não deve ser confundido com o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva não linear (NARCH), junto com a extensão NGARCH, introduzido por M. L. Higgins e A. K. Bera em 1992.^[11]

IGARCH

O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada integrada (IGARCH) é uma versão restrita do modelo GARCH, em que a soma dos parâmetros persistentes resulta em zero, e importa uma raiz unitária no processo GARCH. A condição para isto é:^[12]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}=1.}$

EGARCH

O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada exponencial (EGARCH), introduzido por Daniel B. Nelson em 1991, é outra forma de modelo GARCH.^[13] Formalmente, um modelo EGARCH(${\displaystyle p,q}$) é dado por:

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}.}$

em que ${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$, ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ é a variância condicional, ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \lambda }$ são os coeficientes. ${\displaystyle Z_{t}}$ pode ser uma variávei normal padrão ou vir de uma distribuição de erro generalizada. A formulação para ${\displaystyle g(Z_{t})}$ permite que o sinal e a magnitude de ${\displaystyle Z_{t}}$ tenham efeitos separados na volatilidade. Isto é particularmente útil no contexto de precificação de ativos.^[14]

Já que ${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$ pode ser negativo, não há (menos) restrições nos parâmetros. Em 1992, Daniel B. Nelson e Charles Q. Cao afirmaram que a limitação positiva ou não-negativa são proibitivas no modelo GARCH, enquanto esta limitação não existe no modelo EGARCH.^[15]

GARCH-M

O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada em média (GARCH-M) adiciona um termo de heteroscedasticidade na equação média. Tem a especificação:^[16]

${\displaystyle y_{t}=\beta x_{t}+\lambda \sigma _{t}+\epsilon _{t}.}$

O resíduo ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ é definido como:

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}\times z_{t}.}$

QGARCH

Proposto por Enrique Sentana em 1995, o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada quadrática (QGARCH) é usado para modelar efeitos assimétricos de choques positivos e negativos.^[17]

No exemplo de um modelo GARCH${\displaystyle (1,1)}$, o processo residual ${\displaystyle \sigma _{t}}$ é

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

em que ${\displaystyle z_{t}}$ é uma variável independente e identicamente distribuída e

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=K+\alpha \epsilon _{t-1}^{2}+\beta \sigma _{t-1}^{2}+\phi \epsilon _{t-1}.}$

GJR-GARCH

Semelhante ao QGARCH, o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle (GJR-GARCH), proposto pelos autores em 1993, também modela assimetria nos processos ARCH.^[18] A sugestão é modelar ${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}}$, em que ${\displaystyle z_{t}}$ é uma variável independente e identicamente distribuída e:

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=K+\delta \sigma _{t-1}^{2}+\alpha \epsilon _{t-1}^{2}+\phi \epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1},}$

em que ${\displaystyle I_{t-1}=0}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}\geq 0}$ e ${\displaystyle I_{t-1}=1}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}<0}$.

TGARCH

O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada limiar (TGARCH), proposto por Jean–Michel Zakoian em 1994, é semelhante ao modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle.^[19] A especificação se refere ao desvio padrão condicional no lugar da variância condicional:

${\displaystyle \sigma _{t}=K+\delta \sigma _{t-1}+\alpha _{1}^{+}\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}\epsilon _{t-1}^{-},}$

em que ${\displaystyle \epsilon _{t-1}^{+}=\epsilon _{t-1}}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}>0}$ e ${\displaystyle \epsilon _{t-1}^{+}=0}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}\leq 0}$. Da mesma forma, ${\displaystyle \epsilon _{t-1}^{-}=\epsilon _{t-1}}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}\leq 0}$ e ${\displaystyle \epsilon _{t-1}^{-}=0}$ se ${\displaystyle \epsilon _{t-1}>0}$.

fGARCH

O modelo da família de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada (fGARCH), proposto por Ludger Henschel em 1995, também conhecido como família GARCH, é um modelo abrangente que inclui uma variedade de outros modelos GARCH populares, simétricos e assimétricos, entre os quais o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva de poder assimétrico (APARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle (GJR-GARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de valor absoluto (AVGARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada não linear (NGARCH), entre outros.^[20]

COGARCH

Em 2004, Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner e Ross Maller propuserem uma generalização de tempo contínuo do processo GARCH${\displaystyle (1,1)}$ de tempo discreto.^[21] A ideia é começar com equações do modelo GARCH${\displaystyle (1,1)}$:

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

e então substituir o processo de ruído branco forte ${\displaystyle z_{t}}$ pelos incrementos infinitesimais ${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ de um processo Lévy ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$ e o quadrado do processo de ruído ${\displaystyle z_{t}^{2}}$ pelos incrementos ${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$, em que:

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},t\geq 0,}$

é a parte puramente descontínua do processo de variação quadrática de ${\displaystyle L}$. O resultado é o seguinte sistema de equações diferenciais estocásticas:

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

em que os parâmetros positivos ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \eta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ são determinados por ${\displaystyle \alpha _{0}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$ e ${\displaystyle \beta _{1}}$. Agora, dada alguma condição inicial ${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$, o sistema acima tem uma única solução por caminho ${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$, que é então chamado de modelo GARCH de tempo contínuo (COGARCH).

Referências

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2. Engle, Robert F. (1982). «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation». Econometrica. 50 (4): 987–1007. doi:10.2307/1912773 
3. Enders, Walter (2004). Applied Econometric Time Series (em inglês). [S.l.]: J. Wiley. ISBN 9780471451730 
4. Brooks, Chris (22 de maio de 2008). Introductory Econometrics for Finance (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press 
5. Bollerslev, Tim. «Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity». Journal of Econometrics. 31 (3): 307–327. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1 
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