Movimento browniano geométrico

Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica.^[1] É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.

Definição formal

Um processo estocástico S_t é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}

onde $W_{t}$ é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e $\mu$ ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e $\sigma$ ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.

O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.

Solução da EDE

Para um valor arbitrário inicial S₀ a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)

.

Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por $S_{t}$ a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:

\int _{0}^{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=\mu \,t+\sigma \,W_{t}\,,\qquad {\text{assumindo que }}W_{0}=0\,

.

Claro, ${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}$ aparenta ser relacionado à derivada de $\ln S_{t}$ . No entanto, $S_{t}$ é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:

d(\ln S_{t})={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}dS_{t}

onde $dS_{t}dS_{t}$ é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como $d[S]_{t}$ ou $\left\langle S_{.}\right\rangle _{t}\,$ . Neste caso, temos:

dS_{t}dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt

.

Substituindo o valor de $dS_{t}$ na equação acima e simplificando obtemosː

\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,

.

Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por $S_{0}$ dá a solução reivindicada acima.

Propriedades

A solução acima $S_{t}$ (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː^[2]

\mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t}

,

\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right)

,

isto é a função de densidade de probabilidade de uma S_t é:

f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right)

.

Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(S_t). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː

{\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}

Segue-se que $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:

{\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}

Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

Versão multivariada

O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.

Cada trajetória de preço segue o processo subjacente

dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i}

,

Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que $\mathbb {E} (dW_{t}^{i}dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}dt$ onde $\rho _{i,i}=1$ .

Para o caso multivariado, isso implica que

\mathrm {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right)

.

Uso em finanças

O movimento geométrico browniano é usado para modelar os preços das ações no modelo Black-Scholes e é o modelo mais utilizado no comportamento do preço das ações.^[3]

Alguns dos argumentos para usar o MBG para modelar os preços das ações são:

Os retornos esperados do MBG são independentes do valor do processo (preço das ações), o que está de acordo com o que seria esperado na realidade.^[3]
O MBG só assume valores positivos, assim como os preços das ações reais.
O MBG mostra o mesmo tipo de "rugosidade" em seus caminhos como vemos nos preços das ações reais.
Cálculos com MBG são relativamente fáceis.

No entanto, MBG não é um modelo completamente realista, em particular, fica aquém da realidade nos seguintes pontos:

Nos preços das ações reais, a volatilidade muda ao longo do tempo (possivelmente estocasticamente), mas no MBG, a volatilidade é assumida constante.
Na vida real, os preços das ações geralmente mostram saltos causados por eventos ou notícias imprevisíveis, mas no MBG, o caminho é contínuo (sem descontinuidade).

Extensões

Em uma tentativa de fazer o MBG mais realista, como um modelo para os preços das ações, pode-se descartar a suposição de que a volatilidade ( $\sigma$ ) é constante. Se partirmos do princípio de que a volatilidade é uma função determinística do preço das ações e do tempo, isso é chamado de modelo de volatilidade local. Se, em vez disso, assumimos que a volatilidade tem uma aleatoriedade própria — muitas vezes descrita por uma equação diferente, impulsionado por um Movimento Browniano diferente — o modelo é chamado de modelo de volatilidade estocástica.

Veja também

Processo estocástico

Referências

↑ Ross, Sheldon M. (2014). «Variations on Brownian Motion». Introduction to Probability Models 11th ed. Amsterdam: Elsevier. pp. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9
↑ Oksendal, Bernt K. (2002), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, ISBN 3-540-63720-6, Springer
↑ ^a ^b Hull, John (2009). «12.3». Options, Futures, and other Derivatives 7 ed. [S.l.: s.n.]

Ligações externas

[1] Ross, Sheldon M. (2014). «Variations on Brownian Motion». Introduction to Probability Models 11th ed. Amsterdam: Elsevier. pp. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9

[2] Oksendal, Bernt K. (2002), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, ISBN 3-540-63720-6, Springer

[Hull-3] Hull, John (2009). «12.3». Options, Futures, and other Derivatives 7 ed. [S.l.: s.n.]

[1]

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[3]

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos