Média metálica

Médias Metálicas
0:	0 + √42	1
1:	1 + √52	1,618033989[a]
2:	2 + √82	2,414213562[b]
3:	3 + √132	3,302775638[c]
4:	4 + √202	4,236067978[d]
5:	5 + √292	5,192582404[e]
6:	6 + √402	6,162277660[f]
7:	7 + √532	7,140054945[g]
8:	8 + √682	8,123105626[h]
9:	9 + √852	9,109772229[i]
10:	10 + √1042	10,09901951[j]
⋮
n:	n + √4 + n^22

Símbolo do número de ouro, um dos principais números metálicos.

A média metálica, conhecida também como número metálico (ou com menos frequência, média de prata), é a forma mais simples das frações contínuas representadas ^[1][2][3] por:

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4}}\right)\,}$

Na qual n é um número natural (em linguagem matemática: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$). A proporção áurea (φ = 1,618033989) é a média metálica de 1, bem como a proporção de prata (${\displaystyle \delta _{S}}$ = 2,414213562) é a média metálica de 2. Embora não tão comuns, são utilizados também os nomes número de bronze, número de cobre, número de níquel e número de platina para representar as médias metálicas de 3, 4, 5 e 6, respectivamente. O termo "metálico" provém dessa denominação.^[4][5][6]

Ao lado, podemos ver uma tabela com os valores dos números metálicos de 0 a 10, com uma precisão de 9 algarismos significativos, além de seus valores na forma de radical.^[7][8]

Definição

Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir: ^[9]

${\displaystyle x^{2}-nx=1,\,}$

onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por ${\displaystyle [n;n,n,n,...]}$.

Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que

${\displaystyle {\frac {48+{\sqrt {2308}}}{2}}}$

é um número metálico pois é solução da equação ${\displaystyle x^{2}-48x=1,\,}$, o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243. ^[10]

Características dos números metálicos notáveis

Razão áurea no pentagrama e razão de prata num octógono.

Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ${\displaystyle {\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}}$), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ${\displaystyle {\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}}$). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. ^[11] Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata. ^[12]

Propriedades

Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de ouro, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de ouro; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de prata, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de prata; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de bronze, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de bronze.

Razões de ouro, prata e bronze e seus respectivos retângulos.

As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. ^{[13] [4][14][15]} A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como

${\displaystyle \!\ S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}}$

onde

${\displaystyle \!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}.}$

Utilizando as condições iniciais K₀ = 1 e K₁ = m, essa relação de recorrência se transforma em

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(S_{m}^{n+1}-{(m-S_{m})}^{n+1})}.}$

As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:^[16][17]

Se n é um número inteiro positivo:

${\displaystyle \!\ {S_{m}^{n}-\lfloor S_{m}^{n}\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Além disso,

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{4}-\lfloor S_{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{4}-1\rfloor =S_{(m^{4}+4m^{2}+1)}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{6}-\lfloor S_{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{6}-1\rfloor =S_{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}.}$

Um triângulo de ouro. A razão a:b é equivalente ao número de ouro φ. Num triângulo de prata ele é equivalente a δ_S.

Tem-se também que:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{3}=S_{(m^{3}+3m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{5}=S_{(m^{5}+5m^{3}+5m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{7}=S_{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{9}=S_{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{11}=S_{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}.}$

Generalizando:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2n+1}=S_{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}}.}$

O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:

${\displaystyle \!\ 1/S_{m}=S_{m}-m}$

O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:

${\displaystyle \!\ S_{m}=\lfloor S\rfloor +{S}}$

Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja ${\displaystyle a=\lfloor S\rfloor }$ e ${\displaystyle b={S}}$. Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:^[18]

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.}$

Isso ocorre porque para todo m maior que 0 (${\displaystyle \forall m>0}$), a parte inteira de S_m = m, a = m. Para m > 1, temos então:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=ma+mb+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(a+b)+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(S_{m})+1.}$

Portanto (${\displaystyle \therefore }$), concluímos que a média metálica de m é solução da equação

${\displaystyle \!\ x^{2}-mx-1=0.}$

Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:

${\displaystyle \!\ 1/S_{m}=S_{(-m)}=S_{m}-m.}$

Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número

${\displaystyle \!\ {\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4c}}\right)=R}$

segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:

${\displaystyle \!\ R-\lfloor R\rfloor =c/R}$ de c é real (${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$),

${\displaystyle \!\ \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \operatorname {Re} (R)\rfloor }$ se c é um número complexo (${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$) com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo (${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} }$).

O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral ^{[13] [19]}

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Representações

Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos que o número metálico S de m é dado por

${\displaystyle S:p,q={\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira: ^[20]

Número de Ouro (φ) : ${\displaystyle S:1,1=\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Número de Prata: ${\displaystyle S:2,1={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+2\cdots }}}}}}}}\,.}$

Número de Bronze:${\displaystyle S:3,1_{=}{\sqrt {1+3{\sqrt {1+3{\sqrt {1+3{\sqrt {1+3\cdots }}}}}}}}\,.}$

Número de Cobre: ${\displaystyle S:1,2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Número de Níquel: ${\displaystyle S:1,3={\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+{\sqrt {3+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Número de Platina: ${\displaystyle S:2,2={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Os números metálicos também podem ser representados utilizando fração contínua e sua representação na forma reduzida.^[21]

Números metálicos na Geometria

Poliedros

Retângulos de ouro num icosaedro

Os números metálicos têm grande importância em diversas construções geométricas. Na Geometria Espacial, por exemplo, pode-se perceber diversas propriedades relacionadas a esses números. Para ilustrar isso, podemos citar o caso da presença de retângulos de ouro no 5º Poliedro de Platão (Icosaedro - poliedro regular que é composto por 20 faces triangulares idênticas).

Espiral de ouro

A espiral de ouro é uma espiral logarítmica cujo fator de crescimento b está relacionado a φ, a média metálica de 1. Mais especificamente, a espiral de ouro fica mais larga (cada vez mais a partir de sua origem) para um fator de &phi a cada quarto de volta que ela dá. A equação polar para a espiral de ouro é a mesma d outras espirais logarítmicas, mas como o valor especial de b: ^[22]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

ou

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

sendo e a base do logaritmo natural (também chamado de logaritmo neperiano em homenagem a John Napier), a uma constante real positiva arbitrária e b tal que θ seja um ângulo reto (perpendicular, formando 90°), o que descreve um quarto de volta em qualquer direção: ^[23]

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {direita} }}\,=\varphi }$

Portanto, b é dado por

${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {direita} }}}$

O valor numérico de b depende se o ângulo reto está descrito em graus (como 90°) ou em radianos (como π/2). Uma vez que o ângulo pode estar em qualquer direção, é absolutamente fácil deduzir a fórmula para o valor absoluto de b (isto é, b também pode ser o negativo deste valor):

Representação da espiral de ouro.

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}=0{,}0053468\,}$ para θ em graus;

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}=0{,}306349\,}$ para θ em radianos.

${\displaystyle r=ac^{\theta }\,}$

onde a constante c é dada por:

${\displaystyle c=e^{b}\,}$

Para o qual a espiral de ouro nos dá esses valores para c':

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}=1{,}0053611}$

e

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}=1{,}358456}$

Áreas de figuras planas

Os números metálicos também tem uma curiosa é íntima relação com as áreas de polígonos convexos regulares. ^[14]

Pentágono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 1 (no caso, o número de ouro). Temos:

${\displaystyle A={\frac {l^{2}{\sqrt {20\varphi +15}}}{4}}}$

Sendo A a área do pentágono.

Octógono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 2 (no caso, o número de prata). Temos: ^[24][25]

${\displaystyle A=2l^{2}\delta _{S}}$

Sendo A a área do octógono.

Números metálicos na Trigonometria

Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:^[26][27]

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2(1+\delta _{S})}}}}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {1+\delta _{S}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{1+\delta _{S}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\frac {\sqrt {\varphi (4-\varphi )-{\frac {4}{\varphi }}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\sqrt {\frac {5}{4\varphi +3}}}}$

Notas

1. https://oeis.org/A001622
2. https://oeis.org/A014176
3. https://oeis.org/A098316
4. https://oeis.org/A098317
5. https://oeis.org/A098318
6. https://oeis.org/A176398
7. https://oeis.org/A176439
8. https://oeis.org/A176458
9. https://oeis.org/A176522
10. https://oeis.org/A176522

Referências

1. Vera de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) do Instituto de Matemática da Academia de Artes e Ciências da Sérvia
2. Weisstein, Eric W. «Table of Silver means». MathWorld (em inglês) 
3. "An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means", Maths.Surrey.ac.UK.
4. Vera W. de Spinadel, "The Metallic Means and Design", pp. 141–157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams, Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba, 1998.
5. Constantes PHI, PI e E
6. «[[Buenos Aires|Universidad de Buenos Aires]] - El número metálico». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 18 de agosto de 2000 
7. OEIS
8. Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832
9. Números irracionais
10. Wolfram Alpha
11. S. Douady and Y. Couder (1996). «Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process» (PDF). Journal of Theoretical Biology. 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026. Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original (PDF) em 26 de maio de 2006 
12. «História da matemática». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 19 de setembro de 2014 
13. Números metálicos
14. H. E. Huntley, The Divine Proportion - A study in mathematical beauty, Dover Publications Inc., New York, 1970.
15. Ian Stewart, Las esculturas de Alan St. George, Investigación y Ciencia, July 1996.
16. Vera W. de Spinadel. "The Family of Metallic Means." Visual Mathematics 1.3 (1999): 0–0.
17. Nexus Conference Network Journal:Architeture and Mathematics
18. Fibonacci-Numbers (Fibonacci-Zahlen), Homepage from Michael Becker. Página em alemão. Visitada 2014-01-28.
19. Ilya Prigogine, El fin de las certidumbres, Andrés Bello, Chile, 1996.
20. Metallic Means
21. http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/congreso/029%20Mesa%20redonda.pdf
22. Números Metálicos - Fátima Vinagre - Escola Secundária de Azambuja
23. THE FAMILY OF METALLIC MEANS
24. [1]
25. Matemática Mania
26. «O número de ouro na trigonometria». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 6 de abril de 2016 
27. Wolfram Alpha - seno de 36°

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