Métrica de Lévy–Prokhorov

Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.^[1]

Definição

Considere ${\displaystyle (M,d)}$ um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$. Suponha que ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$.

Para um subconjunto ${\displaystyle A\subseteq M}$, defina a vizinhança ${\displaystyle \varepsilon }$ de ${\displaystyle A}$ por:

${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M|\exists q\in A,d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),}$

em que ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ é a bola aberta de raio ${\displaystyle \varepsilon }$ centrada em ${\displaystyle p}$. A métrica de Lévy–Prokhorov ${\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}$ é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ como:^[2]

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0|\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{e}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{para todo }}A\in {\mathcal {B}}(M)\right\},}$

para medidas de probabilidade claramente ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1}$.

Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas ${\displaystyle A}$ aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e ${\displaystyle ({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon }}$, mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se ${\displaystyle M}$ não for um espaço polonês).

Propriedades

• Se ${\displaystyle (M,d)}$ for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, ${\displaystyle \pi }$ é uma metrização da topologia de convergência fraca em ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$.^[3]
• O espaço métrico ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ é separável se e somente se ${\displaystyle (M,d)}$ for separável.
• Se ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ for completo, então, ${\displaystyle (M,d)}$ é completo. Se todas as medidas em ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se ${\displaystyle (M,d)}$ for completo, então, ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ é completo.
• Se ${\displaystyle (M,d)}$ for separável e completo, um subconjunto ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ é relativamente compacto se e somente se seu ${\displaystyle \pi }$-fechamento for ${\displaystyle \pi }$-compacto.

Referências

1. «Lévy metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
2. «Lévy-Prokhorov metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
3. Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965