Perfeito totiente

Em teoria dos números, um número perfeito de totiente é um número inteiro que é igual à soma de suas iterações de totiente. Ou seja, aplica-se a função totiente para um número ${\displaystyle n}$, aplicá-lo de novo para o resultante da função totiente, e assim por diante, até que o ${\displaystyle {\text{número}}~1}$ seja alcançado, e adicionar em conjunto a sequência de números resultante; Se a ${\displaystyle {\text{soma é igual a n,}}n}$ é um ${\displaystyle {\text{número perfeito de totiente}}}$. Ou, dito de algebricamente, se^[1]

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n),}$

Onde

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)=\left\{{\begin{matrix}\varphi (n)&{\mbox{ if }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n))&{\mbox{ caso contrário}}\end{matrix}}\right.}$

são as interações da função de totiente e ${\displaystyle c}$ é o inteiro tal que^[2]

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

então ${\displaystyle n}$ é um ${\displaystyle {\text{número perfeito de totiente}}}$.^[3]

Os primeiros número perfeito de totiente são:

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471 , 729 , 2187 , 2199 , 3063 , 4359 , 4375 , 5571. (sequência A082897 em OEIS)

Por exemplo, considerando-se o número ${\displaystyle 243}$ e aplicando-o a função de totiente , tem-se: ${\displaystyle \varphi (243)=162,~\varphi (162)=54,~\varphi (54)=18,~\varphi (18)=6,~\varphi (6)=2,~\varphi (2)=1}$.

Dado que ${\displaystyle 162,~54,~18,~6,~2,~1=243,~243}$ é um ${\displaystyle {\text{número perfeito de totiente}}}$.

Propriedades matemáticas

Muitos número perfeito de totiente são múltiplos de ${\displaystyle 3}$. O menor número perfeito de totiente não ser divisível por ${\displaystyle 3}$ é ${\displaystyle 4375}$. Todos os poderes de ${\displaystyle 3}$ são números perfeitos de totiente, como pode ser verificado por indução observando que

${\displaystyle \displaystyle \phi (3^{k})=\varphi (2\cdot 3^{k})=2\cdot 3^{k-1}}$.

Outra família de números perfeitos de totiente, encontrada por Venkataraman (1975), é que dada pela seguinte regra:

se ${\displaystyle p=4x3^{k}+1}$ é um número primo,(Mohan e Suryanarayana 1982), então ${\displaystyle 3p}$ é um número perfeito de totiente.

Os valores principais de ${\displaystyle k}$ para os números perfeitos de totiente, desta forma são:

${\displaystyle 0,~1,~2,~3,~6,~14,~15,~39,~201,~249,~1005,~1254,~1635,~3306,}$ ... (sequência A005537 em OEIS).

De modo mais geral, se ${\displaystyle p}$ é um número primo maior do que ${\displaystyle 3}$, e é um número perfeito de totiente ${\displaystyle 3p}$, então ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ^{[nota 1]} (Mohan e Suryanarayana 1982). Nem todos ${\displaystyle p}$ desta forma levar a números perfeitos de Totiente; por exemplo, ${\displaystyle 51}$ não é um número perfeito de Totiente . Iannucci et al. (2003) mostrou que, se ${\displaystyle 9p}$ é um número perfeito de Totiente, então ${\displaystyle p}$ é primo de uma das três formas específicas constantes do seu papel. Não se sabe se existem números perfeitos de Totiente de forma ${\displaystyle 3^{k}p}$ onde ${\displaystyle p}$ é primo e ${\displaystyle k>3}$.^[4][5]

Ver também

• Função totiente de Euler
• Número natural

Notas e referências

Notas

1. Veja Aritmética modular.

Referências

1. Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). «Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos». Revista Matematica Hispano-Americana. 5 (3): 45–50  (em inglês)
2. Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. New York: Springer-Verlag. p. §B41. ISBN 0-387-20860-7  (em inglês)
3. Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). «On perfect totient numbers» (PDF). Journal of Integer Sequences. 6 (4): 03.4.5. MR 2051959  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) (em inglês)
4. Mohan, A. L.; Suryanarayana, D. (1982). «Perfect totient numbers». Number theory (Mysore, 1981). Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag. pp. 101–105. MR 0665442  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) (em inglês)
5. Venkataraman, T. (1975). «Perfect totient number». The Mathematics Student. 43: 178. MR 0447089  (em inglês)

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