onde P é pressão, ρ é densidade e K é uma constante de proporcionalidade.[1] A constante n é conhecida como índice politrópico; note, no entanto, que o índice politrópico tem uma definição alternativa com n como expoente.
Esta relação não precisa ser interpretada como uma equação de estado, a qual estabelece P como uma função tanto de ρ e T (a temperatura); entretanto, no caso particular descrito pela equação politrópica, existem outras relações adicionais entre essas três grandezas, que juntas determinam a equação. Assim, esta é simplesmente uma relação que expressa uma suposição sobre a mudança de pressão com raio em termos da mudança de densidade com raio, produzindo uma solução para a equação de Lane–Emden.
Às vezes, a palavra politrópio pode se referir a uma equação de estado que se parece com a relação termodinâmica acima, embora isso seja potencialmente confuso e deva ser evitado. É preferível referir-se ao próprio fluido (em oposição à solução da equação de Lane–Emden) como um fluido politrópico. A equação de estado de um fluido politrópico é geral o suficiente para que tais fluidos idealizados sejam amplamente utilizados fora do problema limitado dos politrópicos.
O expoente politrópico (de um politropo) demonstrou ser equivalente à pressão derivada do módulo volumétrico[2] onde sua relação com a equação de estado de Murnaghan também foi demonstrada. A relação politrópica é, portanto, mais adequada para pressões relativamente baixas (abaixo de 107Pa) e alta pressão (acima de 1014 Pa), condições em que a derivada de pressão do módulo volumétrico, que é equivalente ao índice politrópico, é quase constante.
Um índice politropo n = 0 é frequentemente usado para modelar planetas rochosos. A razão é que politropo n = 0 tem densidade constante, i.e., interior incompressível. Esta é uma aproximação de ordem zero para planetas rochosos (sólidos/líquidos).
Um politropo com índice n = 3 é um bom modelo para núcleos de anãs brancas de massas mais altas, de acordo com a equação de estado de matéria degeneradarelativística.[5]
Um politropo com índice n = 5 tem um raio infinito. Corresponde ao modelo plausível mais simples de um sistema estelar autoconsistente, estudado pela primeira vez por Arthur Schuster em 1883, e tem uma solução exata.
Um politropo com índice n = ∞ corresponde ao que é chamado uma esfera isotérmica, que é uma esfera de gás isotérmicaautogravitante, cuja estrutura é idêntica à estrutura de um sistema de estrelas sem colisões como um aglomerado globular. Isso ocorre porque, para um gás ideal, a temperatura é proporcional a ρ1/n, então infinitos n correspondem a uma temperatura constante.
Em geral, à medida que o índice politrópico aumenta, a distribuição da densidade é mais fortemente ponderada em direção ao centro (r = 0) do corpo.
↑C. J. Hansen, S. D. Kawaler, V. Trimble (2004). Stellar Interiors – Physical Principles, Structure, and Evolution, New York: Springer. ISBN0-387-20089-4