Processo aditivo de Markov

Em probabilidade aplicada, um processo aditivo de Markov (Markov additive process ou MAP, em inglês) é um processo de Markov bivariado em que estados futuros dependem apenas de uma das variáveis.^[1]

Definição

Espaço de estados finito ou contável para J(t)

O processo ${\displaystyle \{(X(t),J(t)):t\geq 0\}}$ é um processo aditivo de Markov com parâmetro de tempo contínuo ${\displaystyle t}$ se^[1]

1. ${\displaystyle \{(X(t),J(t));t\geq 0\}}$ for um processo de Markov;
2. a distribuição condicional de ${\displaystyle (X(t+s)-X(t),J(t+s))}$, dado ${\displaystyle (X(t),J(t))}$, depende apenas de ${\displaystyle J(t)}$.

O espaço de estados do processo é R × S, em que ${\displaystyle X(t)}$ assume valores reais e ${\displaystyle J(t)}$ assume valores em algum conjunto contável S.

Espaço de estados geral para J(t)

Para o caso em que ${\displaystyle J(t)}$ assume um estado de espaços mais geral, a evolução de ${\displaystyle X(t)}$ é governada por ${\displaystyle J(t)}$, no sentido de que para qualquer ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, exigimos^[2]

${\displaystyle \mathbb {E} [f(X_{t+s}-X_{t})g(J_{t+s})|{\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} _{J_{t},0}[f(X_{s})g(J_{s})]}$.

Exemplo

Uma fila fluida é um processo aditivo de Markov em que ${\displaystyle J(t)}$ é uma uma cadeia de Markov de tempo contínuo.

Aplicações

O probabilista turco-americano Erhan Çinlar usa a estrutura única do processo aditivo de Markov para provar que, dado um processo gama com um parâmetro de forma que é uma função de movimento browniano, o tempo de vida resultante segue a distribuição de Weibull.^[3][4]

O professor de engenharia da Universidade de Pittsburgh Jeffrey Kharoufeh apresenta uma expressão de transformada compacta para a distribuição de falhas em processos de desgaste de um componente que se degrada de acordo com um ambiente de Markov que induz desgaste linear contínuo. Kharoufeh usa as propriedades do processo aditivo de Markov e assume que o processo de desgaste é temporalmente homogêneo e que o processo ambiental tem um espaço de estados finito.^[5][6]

Referências

1. Magiera, Ryszard (1998). «Optimal Sequential Estimation for Markov-Additive Processes». Birkhäuser Boston. Advances in Stochastic Models for Reliability, Quality and Safety (em inglês): 167–181. doi:10.1007/978-1-4612-2234-7_12#page-1 
2. «Markov Additive Models». Springer New York. Applied Probability and Queues (em inglês). 51: 302–339. 2003. doi:10.1007/0-387-21525-5_11 
3. Çinlar, Erhan (1 de junho de 1972). «Markov additive processes. I». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em inglês). 24 (2): 85–93. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF00532536 
4. Çinlar, Erhan (1 de junho de 1972). «Markov additive processes. II». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em inglês). 24 (2): 95–121. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF00532537 
5. Kharoufeh, Jeffrey P. (1 de maio de 2003). «Explicit results for wear processes in a Markovian environment». Operations Research Letters. 31 (3): 237–244. doi:10.1016/S0167-6377(02)00229-8 
6. Kharoufeh, Jeffrey P.; Finkelstein, Daniel E.; Mixon, Dustin G. (1 de junho de 2006). «Availability of periodically inspected systems with Markovian wear and shocks». Journal of Applied Probability. 43 (2): 303–317. ISSN 0021-9002. doi:10.1017/S0021900200001650 

• Portal de probabilidade e estatística