Processo regenerativo

Processos regenerativos têm sido usados para modelar problemas em controle de inventário. O inventário em um armazém tal como o da imagem decresce via um processo estocástico devido às vendas até que seja reabastecido por um novo pedido.^[1]

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras.^[2] Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

Histórico

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.^[3][4]

Definição

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia.^[5] Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\}}$ é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo ${\displaystyle 0\leq T_{0}<T_{1}<T_{2}<...}$, tal que o processo pós-${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle \{X(T_{k}+t):t\geq 0\}}$:

• tem a mesma distribuição do processo pós-${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \{X(T_{0}+t):t\geq 0\}}$;
• é independente do processo pré-${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle \{X(t):0\leq t<T_{k}\}}$.

para ${\displaystyle k\geq 1}$.^[6] Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.^[7]

Quando ${\displaystyle T_{0}=0}$, ${\displaystyle X(t)}$ é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.^[6]

Exemplos

• Processos de renovação são processos regenerativos, sendo ${\displaystyle T_{1}}$ a primeira renovação.^[5]
• Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.^[5]
• Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo ${\displaystyle T_{1}}$ o tempo da primeira recorrência.^[5] Isto inclui as cadeias de Harris.
• O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.^[7]

Propriedades

• Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1,

  ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}},}$

em que ${\displaystyle \tau }$ é o comprimento do primeiro ciclo e ${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds}$ é o valor sobre o primeiro ciclo.^[8]

• Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.^[8]

Referências

1. Hurter, Arthur P.; Kaminsky, Frank C. (1 de junho de 1967). «An Application of Regenerative Stochastic Processes to a Problem in Inventory Control». Operations Research (em inglês). 15 (3): 467–472. doi:10.1287/opre.15.3.467. Consultado em 21 de fevereiro de 2018 
2. Ross, Sheldon M. (2010). «Renewal Theory and Its Applications». Introduction to Probability Models. [S.l.: s.n.] pp. 421–641. ISBN 9780123756862. doi:10.1016/B978-0-12-375686-2.00003-0  |acessodata= requer |url= (ajuda)
3. Schellhaas, Helmut (1 de fevereiro de 1979). «Semi-Regenerative Processes with Unbounded Rewards». Mathematics of Operations Research (em inglês). 4 (1): 70–78. doi:10.1287/moor.4.1.70. Consultado em 21 de fevereiro de 2018 
4. Smith, Walter L. (11 de outubro de 1955). «Regenerative stochastic processes». Proceedings of the Royal Society A (em inglês). 232 (1188): 6–31. ISSN 0080-4630. doi:10.1098/rspa.1955.0198. Consultado em 21 de fevereiro de 2018 
5. Ross, Sheldon M. (2007). Introduction to probability models 9 ed. Amsterdam: Academic Press. ISBN 0125980620. OCLC 123417622. Consultado em 23 de fevereiro de 2018 
6. Haas, Peter Jay (2002). Stochastic Petri nets: modelling, stability, simulation. New York: Springer. ISBN 0387954457. OCLC 56109535. Consultado em 23 de fevereiro de 2018 
7. Asmussen, Søren (2003). Applied probability and queues 2nd ed. New York: Springer. ISBN 9780387002118. OCLC 51060198. Consultado em 23 de fevereiro de 2018 
8. Sigman, K.; Wolff, R. (1 de junho de 1993). «A Review of Regenerative Processes». SIAM Review. 35 (2): 269–288. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/1035046. Consultado em 23 de fevereiro de 2018