Produto diádico

Em álgebra linear, o produto diádico é referido tipicamente ao produto tensorial de dois vetores. O resultado da aplicação do produto diádico a um par de coordenadas de um vetor é uma matriz.

O produto diádico de vetores pode também ser identificado como um caso especial do produto de Kronecker de matrizes.

Definição (produto de matrizes)

Ver artigo principal: Produto de matrizes

O produto diádico u ⊗ v é equivalente à multiplicação matricial uv^T, sendo u representado como um vetor coluna m × 1 e v como um vetor coluna n × 1 (que torna v^T um vetor linha).^[1] Por exemplo, se m = 4 e n = 3, então

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$

Para vetores complexos, usa-se o conjugado transposto de v (denotado v^H):

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathrm {H} }.}$

Referências

1. Linear Algebra (4th Edition), S. Lipcshutz, M. Lipson, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-154352-1

Ver também

• Álgebra linear
• Norma (matemática)

Produtos

• Produto vetorial

Dualidade

• Conjugado de um número complexo
• Conjugado transposto
• Matriz transposta
• Notação Bra-ket