Relatividade numérica

A relatividade numérica é um dos ramos da relatividade geral que usa métodos numéricos e algoritmos para resolver e analisar problemas. Para este fim, os supercomputadores são frequentemente empregados para estudar buracos negros, ondas gravitacionais, estrelas de nêutrons e muitos outros fenômenos regidos pela teoria da relatividade geral de Einstein. Um campo de pesquisa atualmente ativo em relatividade numérica é a simulação de binários relativísticos e suas ondas gravitacionais associadas.

Visão geral

Um objetivo primário da relatividade numérica é estudar espaços-tempos cuja forma exata não é conhecida. Os espaços-tempos encontrados computacionalmente podem ser totalmente dinâmicos, estacionários ou estáticos [en] e podem conter campos de matéria ou vácuo. No caso de soluções estacionárias e estáticas, métodos numéricos também podem ser usados para estudar a estabilidade dos espaços-tempos de equilíbrio. No caso de espaços-tempos dinâmicos, o problema pode ser dividido em problema de valor inicial e evolução, cada um requerendo métodos diferentes.

A relatividade numérica é aplicada a muitas áreas, como modelos cosmológicos, fenômenos críticos, buracos negros perturbados e estrelas de nêutrons, e a coalescência de buracos negros e estrelas de nêutrons, por exemplo. Em qualquer um desses casos, as equações de Einstein podem ser formuladas de várias maneiras que nos permitem evoluir a dinâmica. Embora os métodos de Cauchy tenham recebido a maior parte da atenção, os métodos baseados em cálculos de Regge e característicos também foram usados. Todos esses métodos começam com um instantâneo dos campos gravitacionais em alguma hipersuperfície, os dados iniciais, e evoluem esses dados para hipersuperfícies vizinhas.^[1]

Como todos os problemas em análise numérica, atenção cuidadosa é dada à estabilidade e convergência [en] das soluções numéricas. Nessa linha, muita atenção é dada às condições de medição [en], coordenadas e várias formulações das equações de Einstein e o efeito que elas têm na capacidade de produzir soluções numéricas precisas.

A pesquisa da relatividade numérica é distinta do trabalho nas teorias de campo clássicas, pois muitas técnicas implementadas nessas áreas são inaplicáveis na relatividade. Muitas facetas são, no entanto, compartilhadas com problemas de grande escala em outras ciências computacionais, como dinâmica de fluidos computacional, eletromagnetismo e mecânica sólida. Os relativistas numéricos geralmente trabalham com matemáticos aplicados e obtêm informações da análise numérica, computação científica, equações diferenciais parciais e geometria, entre outras áreas matemáticas de especialização.

História

Fundamentos na teoria

Albert Einstein publicou sua teoria da relatividade geral em 1915.^[2] Ela, como sua teoria anterior da relatividade especial, descrevia o espaço e o tempo como um espaço-tempo unificado sujeito ao que hoje é conhecido como as equações de campo de Einstein. Estas formam um conjunto de equações diferenciais parciais (E.D.P.^[a]) não lineares acopladas. Depois de mais de 100 anos desde a primeira publicação da teoria, relativamente poucas soluções de forma fechada são conhecidas para as equações de campo e, dessas, a maioria são soluções cosmológicas que assumem uma simetria especial para reduzir a complexidade das equações.

O campo da relatividade numérica surgiu do desejo de construir e estudar soluções mais gerais para as equações de campo, resolvendo aproximadamente as equações de Einstein numericamente. Um precursor necessário para tais tentativas foi uma decomposição do espaço-tempo de volta em espaço e tempo separados. Isso foi publicado pela primeira vez por Richard Arnowitt, Stanley Deser e Charles W. Misner no final da década de 1950, no que ficou conhecido como formalismo de ADM^[b] [en].^[3] Embora, por razões técnicas, as equações precisas formuladas no artigo original de ADM^[b] raramente sejam usadas em simulações numéricas, a maioria das abordagens práticas da relatividade numérica usa uma "decomposição 3+1" do espaço-tempo em espaço tridimensional e tempo unidimensional que está intimamente relacionado à formulação de ADM^[b], porque o procedimento de ADM^[b] reformula as equações de campo de Einstein em um problema de valor inicial restrito [en] que pode ser resolvido usando metodologias computacionais.

Na época em que ADM^[b] publicaram seu artigo original, a tecnologia de computador não teria suportado a solução numérica para suas equações em nenhum problema de tamanho substancial. A primeira tentativa documentada de resolver as equações de campo de Einstein numericamente parece ser de Hahn e Lindquist em 1964,^[4] seguida logo depois por Smarr^[5][6] e por Eppley.^[7] Essas primeiras tentativas foram focadas na evolução dos dados de Misner em axissimetria(também conhecida como "dimensões 2+1"). Mais ou menos na mesma época, Tsvi Piran escreveu o primeiro código que desenvolveu um sistema com radiação gravitacional usando uma simetria cilíndrica.^[8] Neste cálculo, Piran estabeleceu a base para muitos dos conceitos usados hoje na evolução das equações de ADM^[b], como "evolução livre" versus "evolução restrita",^{[necessário esclarecer]} que lidam com o problema fundamental de tratar as equações de restrição que surgem no formalismo de ADM^[b]. A aplicação da simetria reduziu os requisitos computacionais e de memória associados ao problema, permitindo que os pesquisadores obtivessem resultados nos supercomputadores disponíveis na época.

Resultados iniciais

Os primeiros cálculos realistas de colapso rotativo foram realizados no início dos anos oitenta por Richard Stark e Tsvi Piran^[9] em que as formas de onda gravitacional resultantes da formação de um buraco negro rotativo foram calculadas pela primeira vez. Por quase 20 anos após os resultados iniciais, houve poucos outros resultados publicados na relatividade numérica, provavelmente devido à falta de computadores suficientemente poderosos para resolver o problema. No final da década de 1990, a Aliança do grande desafio do buraco negro binário^[c] [en] simulou com sucesso uma colisão frontal de um buraco negro binário [en]. Como etapa de pós-processamento, o grupo calculou o horizonte de eventos para o espaço-tempo. Esse resultado ainda exigia a imposição e exploração da axissimetria nos cálculos.^[10]

Algumas das primeiras tentativas documentadas para resolver as equações de Einstein em três dimensões foram focadas em um único buraco negro de Schwarzschild, que é descrito por uma solução estática e esfericamente simétrica para as equações de campo de Einstein. Isso fornece um excelente caso de teste na relatividade numérica porque tem uma solução de forma fechada para que os resultados numéricos possam ser comparados a uma solução exata, porque é estático e porque contém uma das características numericamente mais desafiadoras da teoria da relatividade, uma singularidade física. Um dos primeiros grupos a tentar simular esta solução foi Anninos et al. em 1995.^[11] Em seu artigo, eles apontam que

"O progresso na relatividade numérica tridimensional foi impedido em parte pela falta de computadores com memória e poder computacional suficientes para realizar cálculos bem resolvidos de espaços-tempos 3D."

Maturação do campo

Nos anos que se seguiram, não apenas os computadores se tornaram mais poderosos, mas também vários grupos de pesquisa desenvolveram técnicas alternativas para melhorar a eficiência dos cálculos. No que diz respeito especificamente às simulações de buracos negros, foram concebidas duas técnicas para evitar problemas associados à existência de singularidades físicas nas soluções das equações: (1) Excisão e (2) o método de "punção". Além disso, o grupo Lazarus desenvolveu técnicas para usar os primeiros resultados de uma simulação de curta duração resolvendo as equações de ADM^[b] não lineares, a fim de fornecer dados iniciais para um código mais estável baseado em equações linearizadas derivadas da teoria das perturbações. De forma mais geral, técnicas de refinamento adaptativo de malhas [en], já utilizadas em dinâmica de fluidos computacional, foram introduzidas no campo da relatividade numérica.

Excisão

Na técnica de excisão, que foi proposta pela primeira vez no final dos anos 1990,^[12] uma porção de um espaço-tempo dentro do horizonte de eventos em torno da singularidade de um buraco negro simplesmente não evoluiu. Em teoria, isso não deve afetar a solução das equações fora do horizonte de eventos por causa do princípio de causalidade e das propriedades do horizonte de eventos (ou seja, nada físico dentro do buraco negro pode influenciar qualquer física fora do horizonte). Assim, se alguém simplesmente não resolve as equações dentro do horizonte, ainda deve ser capaz de obter soluções válidas fora. Alguém "extirpa" o interior impondo condições de contorno de entrada em um contorno que circunda a singularidade, mas dentro do horizonte. Embora a implementação da excisão tenha sido muito bem-sucedida, a técnica apresenta dois problemas menores. A primeira é que é preciso ter cuidado com as condições de coordenadas. Embora os efeitos físicos não possam se propagar de dentro para fora, os efeitos coordenados podem. Por exemplo, se as condições de coordenadas fossem elípticas, as mudanças de coordenadas internas poderiam se propagar instantaneamente pelo horizonte. Isso então significa que são necessárias condições de coordenadas do tipo hiperbólica com velocidades características menores que a da luz para a propagação de efeitos de coordenadas (por exemplo, usando condições de coordenadas de coordenadas harmônicas). O segundo problema é que, à medida que os buracos negros se movem, é preciso ajustar continuamente a localização da região de excisão para se mover com o buraco negro.

A técnica de excisão foi desenvolvida ao longo de vários anos, incluindo o desenvolvimento de novas condições de medição que aumentaram a estabilidade e o trabalho que demonstrou a capacidade das regiões de excisão de se moverem pela grade computacional.^{[13][14][15][16][17][18]} A primeira evolução estável e de longo prazo da órbita e fusão de dois buracos negros usando esta técnica foi publicada em 2005.^[19]

Punção

No método de punção, a solução é fatorada em uma parte analítica,^[20] que contém a singularidade do buraco negro, e uma parte construída numericamente, que é livre de singularidade. Esta é uma generalização da prescrição de Brill – Lindquist^[21] para dados iniciais de buracos negros em repouso e pode ser generalizada para a prescrição de Bowen – York^[22] para girar e mover dados iniciais de buracos negros. Até 2005, todo o uso publicado do método de punção exigia que a posição das coordenadas de todas as punções permanecesse fixa durante o curso da simulação. É claro que os buracos negros próximos uns dos outros tendem a se mover sob a força da gravidade, então o fato de que a posição coordenada da punção permaneceu fixa significou que os próprios sistemas de coordenadas se tornaram "esticados" ou "torcidos", e isso normalmente levou a instabilidades numéricas em algum estágio da simulação.

Descoberta de 2005 (annus mirabilis da relatividade numérica)

Em 2005, um grupo de pesquisadores demonstrou pela primeira vez a capacidade de permitir que as perfurações se movam pelo sistema de coordenadas, eliminando assim alguns dos problemas anteriores do método. Isso permitiu evoluções precisas de longo prazo de buracos negros.^[19][23][24] Ao escolher condições de coordenadas apropriadas e fazer suposições analíticas grosseiras sobre os campos próximos à singularidade (uma vez que nenhum efeito físico pode se propagar para fora do buraco negro, a grosseria das aproximações não importa), soluções numéricas poderiam ser obtidas para o problema de dois buracos negros orbitando um ao outro, bem como o cálculo preciso da radiação gravitacional (ondulações no espaço-tempo) emitida por eles. 2005 foi rebatizado de "annus mirabilis" da relatividade numérica, 100 anos após o annus mirabilis da relatividade especial (1905).

Projeto Lázaro

O projeto Lazarus (1998 – 2005) foi desenvolvido como uma técnica pós-grande desafio para extrair resultados astrofísicos de simulações numéricas completas de curta duração de buracos negros binários. Ele combinou técnicas de aproximação antes (trajetórias pós-Newtonianas) e depois (perturbações de buracos negros individuais) com simulações numéricas completas tentando resolver equações de campo da relatividade geral.^[25] Todas as tentativas anteriores de integrar numericamente, em supercomputadores, as equações de Hilbert – Einstein que descrevem o campo gravitacional em torno de buracos negros binários levaram à falha de software antes que uma única órbita fosse concluída.

A abordagem do Lazarus, entretanto, forneceu a melhor visão sobre o problema do buraco negro binário e produziu resultados numerosos e relativamente precisos, como a energia irradiada e o momento angular emitidos no último estado de fusão,^[26][27] o momento linear irradiada por buracos de massa desigual,^[28] e a massa final e rotação do buraco negro remanescente.^[29] O método também computou ondas gravitacionais detalhadas emitidas pelo processo de fusão e previu que a colisão de buracos negros é o evento único mais energético do Universo, liberando mais energia em uma fração de segundo na forma de radiação gravitacional do que uma galáxia inteira em sua vida útil.

Refinamento de malha adaptável

O refinamento de malha adaptável [en] (R.M.A.)^[d] como método numérico tem raízes que vão muito além de sua primeira aplicação no campo da relatividade numérica. O refinamento de malha aparece pela primeira vez na literatura da relatividade numérica na década de 1980, através do trabalho de Choptuik em seus estudos de colapso crítico de campos escalares.^[30][31] O trabalho original era em uma dimensão, mas posteriormente foi estendido para duas dimensões.^[32] Em duas dimensões, o AMR também foi aplicado ao estudo de cosmologias que não são homogêneas,^[33][34] e ao estudo de buracos negros de Schwarzschild.^[35] A técnica agora se tornou uma ferramenta padrão na relatividade numérica e tem sido usada para estudar a fusão de buracos negros e outros objetos compactos, além da propagação da radiação gravitacional gerada por tais eventos astronômicos.^[36][37]

Desenvolvimentos recentes

Nos últimos anos ^[quando?], centenas de trabalhos de pesquisa foram publicados levando a um amplo espectro de relatividade matemática, onda gravitacional e resultados astrofísicos para o problema do buraco negro em órbita. Essa técnica se estendeu a sistemas binários astrofísicos envolvendo estrelas de nêutrons e buracos negros,^[38] e múltiplos buracos negros.^[39] Uma das previsões mais surpreendentes é que a fusão de dois buracos negros pode dar ao buraco remanescente uma velocidade de até 4000 km/s que pode permitir que ele escape de qualquer galáxia conhecida.^[40][41] As simulações também prevêem uma enorme liberação de energia gravitacional neste processo de fusão, chegando a 8% de sua massa total de repouso.^[42]

Ver também

• Matemática da relatividade geral

Notas

1. do inglês P.D.Es. – partial differential equations
2. das iniciais dos sobrenomes dos autores – Richard Arnowitt, Stanley Deser e Charles W. Misner
3. do inglês Binary black hole grand challenge alliance
4. do inglês A.M.R. – adaptive mesh refinement

Referências

1. Cook, Gregory B. (14 de novembro de 2000). «Initial data for numerical relativity». Living reviews in relativity (em inglês). 3 (1): 5. Bibcode:2000LRR.....3....5C. PMC 5660886. PMID 29142501. arXiv:gr-qc/0007085. doi:10.12942/lrr-2000-5 
2. Einstein, Albert. Der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberiche der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik. [S.l.: s.n.] 
3. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. W. (1962). «The dynamics of general relativity». In: Witten, L. Gravitation: An introduction to current research (em inglês). New York: Wiley. pp. 227–265 
4. Hahn, S. G.; Lindquist, R. W. (1964). «The two-body problem in geometrodynamics». Annals of physics [en] (em inglês). 29 (2): 304–331. Bibcode:1964AnPhy..29..304H. doi:10.1016/0003-4916(64)90223-4 
5. Smarr, Larry (1975). The structure of general relativity with a numerical example. Ph.D. dissertation, University of Texas, Austin (em inglês). Austin, Texas: [s.n.] 
6. Smarr, Larry (1977). «Spacetimes generated by computers: Black holes with gravitational radiation». Annals of the New York academy of sciences [en] (em inglês). 302: 569–. Bibcode:1977NYASA.302..569S. doi:10.1111/j.1749-6632.1977.tb37076.x 
7. Eppley, K. (1975). The numerical evolution of the collision of two black holes. Ph.D. dissertation, Princeton university (em inglês). Princeton, New Jersey: [s.n.] 
8. Piran, T. (1978). «Cylindrical general relativistic collapse». Phys. Rev. Lett. (em inglês). 41 (16): 1085–1088. Bibcode:1978PhRvL..41.1085P. doi:10.1103/PhysRevLett.41.1085 
9. Stark, R.F.; Piran, T. (1985). «Gravitational-wave emission from rotating gravitational collapse». Physical review letters (em inglês). 55 (8): 891–894. Bibcode:1985PhRvL..55..891S. PMID 10032474. doi:10.1103/PhysRevLett.55.891 
10. Matzner, Richard A.; Seidel, H. E.; Shapiro, Stuart L.; Smarr, L.; Suen, W.-M.; Teukolsky, Saul A.; Winicour, J. (1995). «Geometry of a black hole collision» (PDF). Science (em inglês). 270 (5238): 941–947. Bibcode:1995Sci...270..941M. doi:10.1126/science.270.5238.941 
11. Anninos, Peter; Camarda, Karen; Masso, Joan; Seidel, Edward; Suen, Wai-Mo; Towns, John (1995). «Three dimensional numerical relativity: the evoluation of black holes». Physical review D (em inglês). 52 (4): 2059–2082. Bibcode:1995PhRvD..52.2059A. PMID 10019426. arXiv:gr-qc/9503025. doi:10.1103/PhysRevD.52.2059 
12. Alcubierre, Miguel; Brugmann, Bernd (2001). «Simple excision of a black hole in 3+1 numerical relativity». Physical review D (em inglês). 63 (10). 104006 páginas. Bibcode:2001PhRvD..63j4006A. arXiv:gr-qc/0008067. doi:10.1103/PhysRevD.63.104006 
13. Bona, C.; Masso, J.; Seidel, E.; Stela, J. (1995). «New formalism for numerical relativity». Physical review letters (em inglês). 75 (4): 600–603. Bibcode:1995PhRvL..75..600B. PMID 10060068. arXiv:gr-qc/9412071. doi:10.1103/PhysRevLett.75.600 
14. Cook, G. B.; et al. (1998). «Boosted three-dimensional black-hole evolutions with singularity excision». Physical review letters (em inglês). 80 (12): 2512–2516. Bibcode:1998PhRvL..80.2512C. arXiv:gr-qc/9711078. doi:10.1103/PhysRevLett.80.2512 
15. Alcubierre, Miguel (2003). «Hyperbolic slicings of spacetime: singularity avoidance and gauge shocks». Classical and quantum gravity (em inglês). 20 (4): 607–623. Bibcode:2003CQGra..20..607A. arXiv:gr-qc/0210050. doi:10.1088/0264-9381/20/4/304 
16. Alcubierre, Miguel; Brugmann, Bernd; Diener, Peter; Koppitz, Michael; Pollney, Denis; Seidel, Edward; Takahashi, Ryoji (2003). «Gauge conditions for long-term numerical black hole evolutions without excision». Physical review D (em inglês). 67 (8). 084023 páginas. Bibcode:2003PhRvD..67h4023A. arXiv:gr-qc/0206072. doi:10.1103/PhysRevD.67.084023 
17. Brugmann, Bernd; Tichy, Wolfgang; Jansen, Nina (2004). «Numerical simulation of orbiting black holes». Physical review letters (em inglês). 92 (21). 211101 páginas. Bibcode:2004PhRvL..92u1101B. PMID 15245270. arXiv:gr-qc/0312112. doi:10.1103/PhysRevLett.92.211101 
18. Shoemaker, Deirdre; Smith, Kenneth; Sperhake, Ulrich; Laguna, Pablo; Schnetter, Erik; Fiske, David (2003). «Moving black holes via singularity excision». Classical and quantum gravity (em inglês). 20 (16): 3729–3744. Bibcode:2003CQGra..20.3729S. arXiv:gr-qc/0301111. doi:10.1088/0264-9381/20/16/313 
19. Pretorius, F. (2005). «Evolution of binary black-hole spacetimes». Physical review letters (em inglês). 95 (12). 121101 páginas. Bibcode:2005PhRvL..95l1101P. PMID 16197061. arXiv:gr-qc/0507014. doi:10.1103/PhysRevLett.95.121101 
20. Brandt, Steven; Bruegmann, Bernd (1997). «A simple construction of initial data for multiple black holes». Physical review letters (em inglês). 78 (19): 3606–3609. Bibcode:1997PhRvL..78.3606B. arXiv:gr-qc/9703066. doi:10.1103/PhysRevLett.78.3606 
21. Brill, D.; Lindquist, R. (1963). «Interaction energy in geometrostatics». Physical review (em inglês). 131 (1): 471–476. Bibcode:1963PhRv..131..471B. doi:10.1103/PhysRev.131.471 
22. Bowen, J.; York, J. W. (1980). «Time-asymmetric initial data for black holes and black-hole collisions». Physical review D (em inglês). 21 (8): 2047–2056. Bibcode:1980PhRvD..21.2047B. doi:10.1103/PhysRevD.21.2047 
23. Campanelli, M.; Lousto, C. O.; Marronetti, P.; Zlochower, Y. (2006). «Accurate evolutions of orbiting black-hole binaries without excision». Physical review letters (em inglês). 96 (11). 111101 páginas. Bibcode:2006PhRvL..96k1101C. PMID 16605808. arXiv:gr-qc/0511048. doi:10.1103/PhysRevLett.96.111101 
24. Baker, John G.; Centrella, Joan; Choi, Dae-Il; Koppitz, Michael; van Meter, James (2006). «Gravitational-wave extraction from an inspiraling configuration of merging black holes». Physical review letters (em inglês). 96 (11). 111102 páginas. Bibcode:2006PhRvL..96k1102B. PMID 16605809. arXiv:gr-qc/0511103. doi:10.1103/PhysRevLett.96.111102 
25. Baker, J.; Campanelli, M.; Lousto, C. O. (2002). «The Lazarus project: A pragmatic approach to binary black hole evolutions». Physical review D (em inglês). 65 (4). 044001 páginas. Bibcode:2002PhRvD..65d4001B. arXiv:gr-qc/0104063. doi:10.1103/PhysRevD.65.044001 
26. Baker, J.; Brügmann, B.; Campanelli, M.; Lousto, C. O.; Takahashi, R. (2001). «Plunge wave forms from inspiralling binary black holes». Physical review letters (em inglês). 87 (12). 121103 páginas. Bibcode:2001PhRvL..87l1103B. PMID 11580497. arXiv:gr-qc/0102037. doi:10.1103/PhysRevLett.87.121103 
27. Baker, J.; Campanelli, M.; Lousto, C. O.; Takahashi, R. (2002). «Modeling gravitational radiation from coalescing binary black holes». Physical review D (em inglês). 65 (12). 124012 páginas. Bibcode:2002PhRvD..65l4012B. arXiv:astro-ph/0202469. doi:10.1103/PhysRevD.65.124012 
28. Campanelli, Manuela (2005). «Understanding the fate of merging supermassive black holes». Classical and quantum gravity (em inglês). 22 (10): S387–S393. Bibcode:2005CQGra..22S.387C. arXiv:astro-ph/0411744. doi:10.1088/0264-9381/22/10/034 
29. Baker, J.; Campanelli, M.; Lousto, C. O.; Takahashi, R. (2004). «Coalescence remnant of spinning binary black holes». Physical review D (em inglês). 69 (2). 027505 páginas. Bibcode:2004PhRvD..69b7505B. arXiv:astro-ph/0305287. doi:10.1103/PhysRevD.69.027505 
30. Choptuik, M. W. (1989). «Experiences with an adaptive mesh refinement algorithm in numerical relativity». In: Evans, C.; Finn, L.; Hobill, D. Frontiers in numerical relativity (em inglês). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 0521366666 
31. Choptuik, M. W. (1993). «Universality and scaling in gravitational collapse of massless scalar field». Physical review letters (em inglês). 70 (1): 9–12. Bibcode:1993PhRvL..70....9C. PMID 10053245. doi:10.1103/PhysRevLett.70.9 
32. Choptuik, Matthew W.; Hirschmann, Eric W.; Liebling, Steven L.; Pretorius, Frans (2003). «Critical collapse of the massless scalar field in axisymmetry». Physical review D (em inglês). 68 (4). 044007 páginas. Bibcode:2003PhRvD..68d4007C. arXiv:gr-qc/0305003. doi:10.1103/PhysRevD.68.044007 
33. Hern, Simon David (1999). Numerical relativity and inhomogeneous cosmologies (em inglês). [S.l.]: Ph.D. dissertation, Cambridge university 
34. Belanger, Z. B. (2001). Adaptive mesh refinement in the T2 symmetric spacetime (em inglês). [S.l.]: Master's thesis, Oakland university 
35. Schnetter, Erik; Hawley, Scott H.; Hawke, Ian (2004). «Evolutions in 3D numerical relativity using fixed mesh refinement». Classical and quantum gravity (em inglês). 21 (6): 1465–1488. Bibcode:2004CQGra..21.1465S. arXiv:gr-qc/0310042. doi:10.1088/0264-9381/21/6/014 
36. Imbiriba, Breno; Baker, John; Choi, Dae-Il; Centrella, Joan; Fiske, David R.; Brown, J. David; van Meter, James R.; Olson, Kevin (2004). «Evolving a puncture black hole with fixed mesh refinement». Physical review D (em inglês). 70 (12). 124025 páginas. Bibcode:2004PhRvD..70l4025I. arXiv:gr-qc/0403048. doi:10.1103/PhysRevD.70.124025 
37. Fiske, David R.; Baker, John G.; van Meter, James R.; Choi, Dae-Il; Centrella, Joan M. (2005). «Wave zone extraction of gravitational radiation in three-dimensional numerical relativity». Physical review D (em inglês). 71 (10). 104036 páginas. Bibcode:2005PhRvD..71j4036F. arXiv:gr-qc/0503100. doi:10.1103/PhysRevD.71.104036 
38. Etienne, Zachariah B.; Liu, Yuk Tung; Shapiro, Stuart L.; Baumgarte, Thomas W. (2009). «Relativistic simulations of black hole-neutron star mergers: Effects of black-hole spin». Physical review D (em inglês). 76 (4). 104021 páginas. Bibcode:2009PhRvD..79d4024E. arXiv:0812.2245. doi:10.1103/PhysRevD.79.044024 
39. Lousto, Carlos O.; Zlochower, Yosef (2008). «Foundations of multiple-black-hole evolutions». Physical review D (em inglês). 77 (2). 024034 páginas. Bibcode:2008PhRvD..77b4034L. arXiv:0711.1165. doi:10.1103/PhysRevD.77.024034 
40. Campanelli, Manuela; Lousto, Carlos O.; Zlochower, Yosef; Merritt, David (2007). «Maximum gravitational recoil». Physical review letters (em inglês). 98 (23). 231102 páginas. Bibcode:2007PhRvL..98w1102C. PMID 17677894. arXiv:gr-qc/0702133. doi:10.1103/PhysRevLett.98.231102 
41. Healy, James; Herrmann, Frank; Hinder, Ian; Shoemaker, Deirdre M.; Laguna, Pablo; Matzner, Richard A. (2009). «Superkicks in hyperbolic encounters of binary black holes». Physical review letters (em inglês). 102 (4). 041101 páginas. Bibcode:2009PhRvL.102d1101H. PMID 19257409. arXiv:0807.3292. doi:10.1103/PhysRevLett.102.041101 
42. Campanelli, Manuela; Lousto, Carlos O.; Zlochower, Yosef; Krishnan, Badri; Merritt, David (2007). «Spin flips and precession in black-hole-binary mergers». Physical review D (em inglês). 75 (6). 064030 páginas. Bibcode:2007PhRvD..75f4030C. arXiv:gr-qc/0612076. doi:10.1103/PhysRevD.75.064030 

Ligações externas

• Dados iniciais para a relatividade numérica (em inglês) — Um artigo de revisão que inclui uma discussão técnica da relatividade numérica.
• Estrelas em rotação na relatividade (em inglês) — Um artigo de revisão técnica sobre estrelas em rotação, com uma seção sobre aplicações da relatividade numérica.
• Um tutorial de relatividade no Caltech (em inglês) — Uma introdução básica aos conceitos de relatividade numérica.