Salinon

A salinon (vermelho) e o círculo (azul) tem a mesma área. Em roxo a área comum às duas figuras

Salinon (significando "saleiro" em grego) é uma figura geométrica que consiste em quatro semicírculos. Foi introduzida a primeira vez no livro dos lemas, uma obra atribuída a Arquimedes.^[1]

Construção

Seja O a origem de um sistema de coordenadas cartesiano bidimensional. Sejam A, D, E e B quatro pontos em uma linha, com O dividindo a linha AB no meio. Seja AD = EB. Semicírculos são desenhados acima da linha AB com diâmetros AB, AD e EB, e outros semicírculo é desenhado abaixo com diâmetro DE. Uma salinon é a figura delimitada por estes quatro semicírculos.^[2]

Propriedades

Área

Arquimedes introduziu a salinon em seu livro dos lemas aplicando o Livro II, Proposição 10 de Os Elementos de Euclides. Arquimedes notou que "a área da figura delimitada pelos quatro semicírculos é igual à área do círculo com diâmetro CF."^[3]

A área da salinon é

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$^[1]

Prova

Seja os pontos médios de AD e EB denotados por G e H, respectivamente. Portanto, AG = GD = EH = HB = r₁. Como DO, OF e OE são todos raios do mesmo semicírculo, DO = OF = OE = r₂. Por adição de segmentos, AG + GD + DO = OE + EH + HB = 2r₁ + r₂. Como AB é o diâmetro da salinon, CF é a linha de simetria. Como são todos raios do mesmo semicírculo, AO = BO = CO = 2r₁ + r₂.

Seja P o centro do círculo. Como CO = 2r₁ + r₂ e OF = r₂, CF = 2r₁ + 2r₂. Portanto, o raio do círculo é r₁ + r₂. A área do círculo é portanto π(r₁ + r₂)².

Seja x = r₁ e y = r₂. A área do semicírculo com diâmetro AB é

${\displaystyle AB={\frac {1}{2}}\pi \left(2x+y\right)^{2}}$.

A área do semicírculo com diâmetro DE é

${\displaystyle DE={\frac {1}{2}}\pi y^{2}}$.

A área de cada um dos semicírculos com diâmetros AD e EB é

${\displaystyle AD=EB={\frac {1}{2}}\pi x^{2}}$.

Assim, a área da salinon é

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \left(\left(2x+y\right)^{2}-2x^{2}+y^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi \left(2x^{2}+4xy+2y^{2}\right)=\pi \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=\pi \left(x+y\right)^{2}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}$

Q.E.D.^[4]

Arbelos

Quando os pontos D e E coincidem com O, é formada uma arbelos, outra criação de Arquimedes, com simetria no eixo vertical.^[3]

Referências

1. Weisstein, Eric W. «"Salinon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource». Consultado em 12 de janeiro de 2014 
2. Nelsen, Roger B. (2002). «Proof Without Words: The Area of a Salinon». Mathematics Magazine (PDF). [S.l.: s.n.] p. 130. Consultado em 12 de janeiro de 2014. Arquivado do original (PDF) em 6 de julho de 2008 
3. Bogomolny, Alexander. «Salinon: From Archimedes' Book of Lemmas from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles». Consultado em 12 de janeiro de 2014 
4. Umberger, Shannon. «Essay # 4 - The Arbelos and the Salinon». Consultado em 12 de janeiro de 2014