Sistema de partículas em interação

Na teoria da probabilidade, um sistema de partículas em interação (IPS) é um processo estocástico ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ em algum espaço de configuração ${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ dado por um espaço de sítio, um grafo infinito contável ${\displaystyle G}$ e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto ${\displaystyle S}$.^[1] Mais precisamente, IPSs são processos de Marvok de tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes estocasticamente em interação. IPSs são os análogo de tempo contínuo dos autômatos celulares estocásticos. Entre os principais exemplos são o modelo de eleições, o processo de contato, o processo de exclusão simples  assimétrico (PESA), a dinâmica de Glauber e, em particular, o modelo Ising estocástico.^[2]

IPS são geralmente definidos através de seus geradores de Markov dando origem a um processo de Markov único utilizando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida. Novamente o gerador é dada através das denominadas taxas de transição ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$ onde ${\displaystyle \Lambda \subset G}$ é um conjunto finito de sítios e ${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$ com ${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$ para todo ${\displaystyle i\notin \Lambda }$. As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração ${\displaystyle \eta }$ para a configuração ${\displaystyle \xi }$. Geralmente, as taxas de transição são dadas na forma de uma medida finita ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$ em ${\displaystyle S^{\Lambda }}$.

O gerador ${\displaystyle L}$ de um IPS tem a seguinte forma: primeiro, o domínio de ${\displaystyle L}$ é um subconjunto do espaço de "observáveis", isto é, o conjunto de valores reais de funções contínuas no espaço de configuração ${\displaystyle \Omega }$. Em seguida, para qualquer ${\displaystyle f}$ observável no domínio de ${\displaystyle L}$, tem-se

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

Por exemplo, para o modelo Ising estocástico temos ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$, ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$, ${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$ se ${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$ para alguns ${\displaystyle i\in G}$ e

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

onde ${\displaystyle \eta ^{i}}$ é a configuração igual a ${\displaystyle \eta }$ exceto que ela é invertida no sítio ${\displaystyle i}$. ${\displaystyle }$ é um novo parâmetro modelando a temperatura inversa.

Referências

1. Liggett, Thomas M. (1997). "Stochastic Models of Interacting Systems". The Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics. 25 (1): 1-29. doi:10.2307/2959527. ISSN 0091-1798.
2. Liggett, Thomas M. (1985). Interacting Particle Systems. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.