Série convexa

Uma série convexa, em matemática, particularmente em análise funcional e análise convexa^[1], é uma série da forma ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ onde ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ são todos elementos de um espaço vetorial topológico ${\displaystyle X}$,e todos ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ são números reais não negativos que somam ${\displaystyle 1}$ (isto é, tal que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$).^[2]

Tipos de série convexa

Suponha que ${\displaystyle S}$ é um subconjunto de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ é uma série convexa em ${\displaystyle X.}$

• Se todos ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ pertencem a ${\displaystyle S}$ então a série convexa${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ é chamada de série convexa com elementos de ${\displaystyle S}$.
• Se o conjunto ${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$ é um conjunto limitado (von Neumann)^[3] então a série chamada de série b-convexa.
• A série convexa ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ é dito ser uma série convergente se a seqüência de somas parciais${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ converge em ${\displaystyle X}$ a algum elemento de ${\displaystyle X,}$ que é chamado de soma da série convexa.
• A série convexa é chamada Cauchy se ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ é uma série Cauchy^[4], que por definição significa que a sequência de somas parciais ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ é uma sequência de Cauchy.

Referências

1. G., KRANTZ, STEVEN (2017). CONVEX ANALYSIS. [S.l.]: CRC Press. OCLC 1330968109 
2. Jameson, G. J. O. (julho de 1972). «Convex series». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (em inglês) (1): 37–47. ISSN 1469-8064. doi:10.1017/S0305004100050933. Consultado em 13 de abril de 2023 
3. Adasch, Norbert (1978). Topological vector spaces. Bruno Ernst, Dieter Keim. Berlin: Springer-Verlag. OCLC 297140003 
4. Narici, Lawrence (2011). Topological vector spaces. Edward Beckenstein 2nd ed ed. Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834  !CS1 manut: Texto extra (link)

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