Tensor de força do campo de glúons

No contexto da física teórica de partículas, o tensor de força do campo de glúons é um campo tensorial de segunda ordem que caracteriza a interação entre os glúons e os quarks. 

A interação forte é uma das interações fundamentais da natureza e a teoria quântica de campos (TQC) que a descreve é denominada cromodinâmica quântica. Quarks interagem uns com os outros por meio da força forte devido a sua carga de cor, força essa mediada por glúons. Os próprios glúons possuem carga de cor e por conta disso podem também interagir mutualmente.

O tensor de força do campo de glúons é um tensor de rank 2 no espaço-tempo com valores no fibrado adjunto do grupo de gauge cromodinâmico SU(3). Nesse artigo, índices com letras latinas (tipicamente a, b, c, n) tomam os valores 1, 2, ..., 8 para as oito cargas de cor dos glúons, enquanto índices de letras gregas while (tipicamente α, β, μ, ν) tomam valores 0 para componentes tipo tempo e 1, 2, 3 para componentes tipo espaço de quadrivetores e tensores quadridimensionais no espaço tempo. Em todas as equações, a convenção estabelecida pela notação de Einstein é usada em todos os índices de cor e tensoriais, a menos que esteja explicitamente dito que a soma não deve ser efetuada.

Definição

Abaixo estão as definiçoes (e a maior parte da notação) seguidos por K. Yagi, T. Hatsuda, Y. Miake^[1] and Greiner, Schäfer.^[2]

Componentes tensoriais

O tensor é denotado por G, (ou F, F, ou outras variantes), e tem componentes definidas como proporcionais ao comutador da derivada covariante D_μ quarkônica :^[2][3]

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{g_{s}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,}$

no qual:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,}$

onde

• i é a unidade imaginária;
• g_s é a constante de acoplamento da força forte;
• t_a = λ_a/2 são as matrizes de Gell-Mann λ_a divididas por 2;
• a é o índice de cor na representação adjunta de SU(3) que toma os valores1, 2, ..., 8 para os oito geradores do grupo, a saber as matrizes de Gell-Mann.
• μ é um índice do espaço-tempo, 0 para componentes do tipo tempo e 1,2, 3 para componentes tipo espaço;
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$ expressa o campo gluônico, um campo de gauge de spin 1, ou no jargão da geometria diferencial, uma conexão no fibrado principal de SU(3);
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }}$ são os quatro componentes (dependentes do sistema de coordenadas), que em determinado gauge fixo são funções cujos valores são matrizes hermitianas 3 × 3 de traço nulo, ao passo que ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$ são as 32 funções reais, as quatro componentes para cada um dos oito campos vetoriais.

Autores diferentes escolhem sinais diferentes.

Expandindo o comutador, tem-se;

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{s}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }]}$

Substituindo ${\displaystyle t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }}$ e o usando as relações de comutação ${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c}}$ para as matrizes de Gell-Mann (com uma reindexação dos índices), onde f ^abc são as constantes de estrutura de SU(3), cada uma das componentes da força do campo de glúons pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes de Gell-Mann como segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{s}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}g_{s}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,}$

de forma que:^[4][5]

${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{s}f^{abc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,,}$

onde novamente a, b, c = 1, 2, ..., 8 são índices de cor. Como no caso do campo de glúons, em um sistema de coordenadas específico e com um gauge fixo, os G_αβ são funções que tem como valor matrizes hermitianas 3×3, enquanto G^a_αβ são funções reais, que vem a ser as componentes de oito campos tensoriais quadridimensionais de segunda ordem.

Comparação com o tensor eletromagnético

Há um paralelo quase perfeito entre o tensor de força dos glúons e o tensor de campo eletromagnético (geralmente denotado por F ) na eletrodinâmica quântica, dado pelo quadripotencial eletromagnético A descrevendo um fóton de spin 1;

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,,}$

ou na linguagem das formas diferenciais:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} \,.}$

A principal diferença entre eletrodinâmica quântica e cromodinâmica quântica é que o tensor de força do campo do glúon tem termos extras que conduzem a auto-interações entre glúons. Isso causa uma complicação na teoria da força forte, fazendo com que ela seja inerentemente não-linear, ao contrário da força eletromagnética. QCD é uma teoria não-abeliana de gauge. A palavra não-abeliana em linguage de teoria de grupos significa que uma operação no grupo não é comutativa, o que faz com a álgebra de Lie correspondente seja não-trivial.

Densidade lagrangeana da QCD 

Características de todas as teorias de campo, a dinâmica dos campos de força estão resumidas por uma densidade lagrangeana apropriada e da substituição dessa nas equações de Euler–Lagrange (para campos) obtêm-se as equações de movimento para o campo. A densidade lagrangeana para quarks sem massa, ligados por glúons é: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi }$

onde "tr" denota traço das matrizes 3×3 G_αβG^αβ, e γ^μ são matrizes gama 4×4.

Transformações de gauge

Em contraste com a QED, o tensor de força do campo do glúon não é invariante de gauge por si. Apenas o produto de dois tensores contraídos sobre todos os índices é invariante.

Equaçõeas de movimento

As equações^[1] governando a evolução dos campos de quark são:

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc)\psi =0}$

que é como a equação de Dirac, e a equação para o tensor de força do campo do glúon é:

${\displaystyle \left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{s}j^{\nu }}$

que são similares as equações de Maxwell (quando escritar em notação tensorial), mais especificamente as equações de Yang–Mills para glúons. A quadricorrente de carga de cor é a fonte do tensor de força do campo de glúon, análogo a quadricorrente como fonte do tensor eletromagnético, dada por

${\displaystyle j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi \,,}$

que é uma corrente conservada, uma vez que a carga de cor é conservada, em outras palavras a quadricorrente de cor deve satisfazer a seguinte equação da continuidade: 

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0\,.}$

Ver também

• Confinamento de quarks
• Campo (física)
• Campo de Yang-Mills
• Eightfold Way (physics)
• Tensor de Einstein
• Loop de Wilson

Referências

1. K. Yagi, T. Hatsuda, Y. Miake (2005).
2. W. Greiner, G. Schäfer (1994). "4".
3. S.O. Bilson-Thompson, D.B. Leinweber, A.G. Williams (2003).
4. M. Eidemüller, H.G. Dosch, M. Jamin (1999).
5. M. Shifman (2012).

Leituras adicionais

Livros

• H. Fritzsch (1982). Quarks: the stuff of matter. [S.l.]: Allen lane. ISBN 0-7139-15331 
• B.R. Martin, G. Shaw (2009). Particle Physics. Col: Manchester Physics Series 3rd ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-03294-7 
• S. Sarkar, H. Satz, B. Sinha (2009). The Physics of the Quark-Gluon Plasma: Introductory Lectures. [S.l.]: Springer. ISBN 3642022855  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• J. Thanh Van Tran (editor) (1987). Hadrons, Quarks and Gluons: Proceedings of the Hadronic Session of the Twenty-Second Rencontre de Moriond, Les Arcs-Savoie-France. [S.l.]: Atlantica Séguier Frontières. ISBN 2863320483 
• R. Alkofer, H. Reinhart (1995). Chiral Quark Dynamics. [S.l.]: Springer. ISBN 3540601376 
• K. Chung (2008). Hadronic Production of ψ(2S) Cross Section and Polarization. [S.l.]: ProQuest. ISBN 0549597743 
• J. Collins (2011). Foundations of Perturbative QCD. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521855330 
• W.N.A. Cottingham, D.A.A. Greenwood (1998). Standard Model of Particle Physics. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521588324 

Papers selecionados

• J.P. Maa, Q. Wang, G.P. Zhang (2012). «QCD evolutions of twist-3 chirality-odd operators». Physics Letters B. Bibcode:2013PhLB..718.1358M. arXiv:1210.1006. doi:10.1016/j.physletb.2012.12.007  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• M. D’Elia, A. Di Giacomo, E. Meggiolaro (1997). «Field strength correlators in full QCD». Physics Letters B. Bibcode:1997PhLB..408..315D. arXiv:hep-lat/9705032. doi:10.1016/S0370-2693(97)00814-9  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• A. Di Giacomo, M. D’elia, H. Panagopoulos, E. Meggiolaro (1998). «Gauge Invariant Field Strength Correlators In QCD». arXiv:hep-lat/9808056  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• M. Neubert (1993). «A Virial Theorem for the Kinetic Energy of a Heavy Quark inside Hadrons». Physics Letters B. Bibcode:1994PhLB..322..419N. arXiv:hep-ph/9311232. doi:10.1016/0370-2693(94)91174-6 
• M. Neubert, N. Brambilla, H.G. Dosch, A. Vairo (1998). «Field strength correlators and dual effective dynamics in QCD». Physical Review D. Bibcode:1998PhRvD..58c4010B. arXiv:hep-ph/9311232. doi:10.1103/PhysRevD.58.034010  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• M. Neubert (1996). «QCD sum-rule calculation of the kinetic energy and chromo-interaction of heavy quarks inside mesons» (PDF). Physics Letters B 

Ligações externas

• K. Ellis (2005). «QCD» (PDF). Fermilab Fermilab. 
• [«Chapter 2: The QCD Lagrangian» Verifique valor |url= (ajuda) (PDF). Technische Universität München. Consultado em 17 de outubro de 2013 ]

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