Na mecânica dos fluidos, o teorema da circulação de Kelvin (em homenagem a William Thomson, 1º Barão Kelvin, que o publicou em 1869) afirma que em um fluido barotrópico ideal com forças de corpo conservativas, a circulação em torno de uma curva fechada é constante com o tempo . [1] [2] Matematicante, isso significa que:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4d5e697ca2bc0e4916c1aec143b40b36eecc3)
Onde
é a derivada convectiva,,
é a circulação em torno de um contorno de material
. Esse teorema diz que se alguém observar um contorno fechado em um instante, e seguir o contorno ao longo do tempo, a circulação em outro instante de tempo permanece a mesma. Além disso, outra conclusão importante é que, valendo o teorema de Kelvin, se um fluido é irrotacional em t=0, segue irrotacional para t>0.
Este teorema não é válido em casos com tensões viscosas, forças não conservativas ou quando não temos um fluido barotrópico.
A circulação
em torno de um contorno de material fechado
é definida por:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bd3059c740301a3faf535621acac1250c9155d)
onde u é o vetor velocidade e ds é um elemento de linha longo do contorno fechado. A equação para um fluido invíscido com uma força conservativa é
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa315d017db63e9287b006b139696ef5a5696a2f)
onde ρ é a densidade do fluido, p é a pressão e Φ é o potencial da força conservativa. Essa é a equação de Euler.
A condição de fluido barotrópico implica que a densidade é uma função apenas da pressão, ou seja,
.
Tomando o derivada convectiva da circulação, temos:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ee180a6a2d4d51a588ffcbf1f80bc8bf9dc750)
No primeiro termo, podemos aplicar o Teorema de Stokes, de forma que:
![{\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {ds}}\ =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16933dfd374b0d562b9b2d2db14a5eae6d6a7e2)
Como o fluido é barotrópico,
é uma constante. Também usamos o fato de que
para qualquer função
.
Para o segundo termo, temos que:
Portanto:
![{\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}\right)=\oint _{C}\mathrm {d} \left({\frac {\boldsymbol {u^{2}}}{2}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0a7ef768c07bc8b6188ffba0330c6a631273f3)
Como ambos os termos são zero, obtemos o resultado:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93a9bac775efea024431193ee9204166901f66d)
Um resultado semelhante pode ser obtido quando temos um sistema de coordenadas em rotação, conhecido como teorema de Poincaré-Bjerknes, em homenagem a Henri Poincaré e Vilhelm Bjerknes, que derivou o invariante em 1893 [3] [4] e 1898. [5] [6] O teorema pode ser aplicado a um referencial que está em rotação a uma velocidade angular constante dada pelo vetor
, para a circulação modificada:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f5347e9a44be21b9ca6b91bc19e88ef9165045)
Onde
é a posição da área do fluido. Pelo teorema de Stokes, temos:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2204a2633f857bcb7f150792b8a0c9a637c8e5a)
A Vorticidade de um campo de velocidade na dinâmica dos fluidos é definida por:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568abf727fb433c949bf356f2e3ffb421638e904)
Então:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f828d1b682f9c8c4bbee0c170e5ef7edd65210)
- ↑ Katz, Plotkin: Low-Speed Aerodynamics
- ↑ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002
- ↑ Poincaré, H. (1893). Théorie des tourbillons: Leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Gauthier-Villars. Article 158
- ↑ Truesdell, C. (2018). The kinematics of vorticity. Courier Dover Publications.
- ↑ Bjerknes, V., Rubenson, R., & Lindstedt, A. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Kungl. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
- ↑ Chandrasekhar, S. (2013). Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Courier Corporation.