Teorema de Bombieri-Vinogradov

Em Matemática, o teorema de Bombieri–Vinográdov (por vezes também chamado apenas teorema de Bombieri),^[1] nomeado assim em honra a Enrico Bombieri e A. I. Vinogradov,^[2][3] que publicou sobre o tema relacionado à hipótese da densidade, em 1965.

Trata-se de um importante resultado em teoria analítica dos números,^[4] um ramo da teoria analítica dos números, obtido em meados dos anos 1960, a respeito da distribuição de números primos em progressões aritméticas. O primeiro reultado deste tipo foi obtido por Barban em 1961.^[5] O resultado de Bombieri–Vinogradov é um refinamento do resultado de Barban.

Este resultado é uma aplicação do método do grande crivo, que se desenvolveu rapidamente no início da década de 1960, desde seus começos no trabalho de Yuri Linnik duas décadas antes. Além de Bombieri, Klaus Roth também esteve trabalhando neste campo.

Enunciado do teorema de Bombieri–Vinogradov

Teorema — Seja A um número real positivo qualquer. Então

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (x;q,a)-{x \over \phi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right),}$

se

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.}$

Aqui φ(q) é a função totiente de Euler, que é o número de somandos para o módulo q, e

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a\mod q}\Lambda (n),}$

onde ${\displaystyle \Lambda }$ é a função de von Mangoldt.

Uma descrição verbal deste resultado é que o termo está errado com o teorema do número primo para progressões aritméticas, média sobre os módulos q até Q. Para certa faixa de Q próxima a √x se são ignorados os fatores logarítmicos, o erro médio é quase tão pequeno como √x. Este não é um resultado óbvio, e sem calcular a media é aproximadamente tão forte como a Hipótese Generalizada de Riemann.

Veja também

• Teorema de Vinogradov

Notas

1. E. Bombieri, "Le Grand Crible dans a Théorie Analytique des Nombres" (Seconde Édition). Astérisque 18, Paris 1987.
2. Askold Ivanovitch Vinogradov, não confundor com Ivan Vinogradov.
3. A. I. Vinogradov. The density hypothesis for Dirichlet L-series. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 29 (1965), pages 903-934; Corrigendum. ibid. 30 (1966), págs. 719-720. (em russo)
4. Davenport, Harold (2000). «28. Bombieri's theorem». Multiplicative number theory (em inglês) 3ª ed. New York: Springer. pp. 161–168. ISBN 0387950974 
5. Barban, M. B. (1961). «New applications of the 'large sieve' of Yu. V. Linnik». Akad. Nauk. SSSR Trudy. Inst. Mat. 22: 1–20 

Bibliografia

• Davenport, Harold (2000). Multiplicative number theory (em inglês) 3ª ed. New York: Springer. ISBN 0387950974 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Bombieri's Theorem». MathWorld (em inglês)