Teorema de Cartan-Hadamard
O Teorema de Cartan-Hadamard é uma afirmação em geometria riemanniana concernente a estrutura de variedades riemannianas completas de curvaturas seccionais não-positivas. O teorema afirma que a cobertura universal de tal variedade é difeomórfica a um espaço euclideano via o mapeamento exponencial naquele ponto. Isto foi primeiramente provado por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superfícies em 1881 e independentemente por Jacques Hadamard em 1898. Élie Cartan generalizou o teorema para variedades riemannianas em 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). O teorema foi posteriormente generalizado para uma grande classe de espaços métricos por Mikhail Gromov em 1987; provas detalhadas foram publicadas por Ballmann (1990).
Referências
- McAlpin, John (1965), «Infinite dimensional manifolds and Morse theory», Columbia University, Thesis.
- Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. (1990), «The Hadamard-Cartan theorem in locally convex metric spaces», Enseign. Math. (2), 36 (3–4): 309–320.
- Ballmann, Werner (1995), Lectures on spaces of nonpositive curvature, ISBN 3-7643-5242-6, DMV Seminar 25, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. viii+112, MR 1377265.
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, ISBN 3-540-64324-9, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319, Berlin: Springer-Verlag, pp. xxii+643, MR 1744486.
- do Carmo, Manfredo Perdigão (1992), Riemannian geometry, ISBN 0-8176-3490-8, Mathematics: theory and applications, Boston: Birkhäuser, pp. xvi+300.
- Kobayashi, Shochichi; Nomizu, Katsumi (1969), Foundations of Differential Geometry, Vol. II, ISBN 0-470-49648-7, Tracts in Mathematics 15, New York: Wiley Interscience, pp. xvi+470.
- Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, ISBN 0-12-338460-5, Pure and Applied Mathematics 80, New York: Academic Press, pp. xvi+628.
- Lang, Serge (1999), Fundamentals of differential geometry, ISBN 978-0-387-98593-0, Graduate Texts in Mathematics, 191, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1666820.
