Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko

 Nota: Se procura o teorema do valor extremo em cálculo, veja Teorema de Weierstrass.

O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher.

Em estatística, o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko, também chamado de teorema de Fisher–Tippett ou teorema do valor extremo, é um resultado geral na teoria dos valores extremos referente à distribuição assintótica de estatísticas de ordem extremas. O máximo de uma amostra de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas pode apenas convergir em distribuição a uma de três possíveis distribuições, a distribuição de Gumbel, a distribuição de Fréchet e a distribuição de Weibull. O matemático soviético Boris Gnedenko recebeu crédito pelo teorema do valor extremo (ou teorema da convergência a tipos) proposto em 1948.^[1] Versões anteriores foram publicadas pelos estatísticos britânicos Ronald Fisher e Leonard Henry Caleb Tippett em 1928 e pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1927.^[2][3]

O papel do teorema dos tipos extremos para máximos é similar ao do teorema central do limite para médias, exceto pelo fato de que o teorema central do limite se aplica à média de uma amostra a partir de qualquer distribuição com variância finita, enquanto o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko afirma apenas que, se a distribuição de um máximo normalizado converge, então o limite deve pertencer a uma classe particular de distribuições. Não afirma que a distribuição do máximo normalizado de fato converge.

Afirmação

Considere ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}...}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e ${\displaystyle M_{n}=\max\{X_{1},...,X_{n}\}}$. Se uma sequência de pares de números reais ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ existe tal que cada ${\displaystyle a_{n}>0}$ e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)}$, em que ${\displaystyle F}$ é uma função de distribuição não degenerada, então, a distribuição limite ${\displaystyle F}$ pertence às famílias de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Estas podem ser agrupadas na distribuição generalizada de valor extremo.^[4]

Condições de convergência

Se ${\displaystyle G}$ for uma função de distribuição de ${\displaystyle X}$, então, ${\displaystyle M_{n}}$ pode ser reescalonado para convergir em distribuição a:^[4]

• Uma distribuição de Fréchet se e somente se ${\displaystyle G(x)<1}$ para todo ${\displaystyle x}$ real e ${\displaystyle {\frac {1-G(tx)}{1-G(t)}}{\xrightarrow[{t\to +\infty }]{}}x^{-\theta },x>0}$. Neste caso, possíveis sequências são:^[4]

  ${\displaystyle b_{n}=0}$ e ${\displaystyle a_{n}=G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).}$

• Uma distribuição de Weibull se e somente se ${\displaystyle \omega =\sup\{G<1\}<+\infty }$ e ${\displaystyle {\frac {1-G(\omega +tx)}{1-G(\omega -t)}}{\xrightarrow[{t\to 0^{+}}]{}}(-x)^{\theta },x<0}$. Neste caso, possíveis sequências são:^[4]

  ${\displaystyle b_{n}=\omega }$ e ${\displaystyle a_{n}=\omega -G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).}$

Ver também

• Distribuição de Gumbel
• Distribuição de Weibull

Referências

1. Gnedenko, Boris (1948). «On a local limit theorem of the theory of probability» (PDF). Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 3 (25). Consultado em 3 de agosto de 2017 
2. Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (abril de 1928). «Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 24 (2): 180–190. ISSN 1469-8064. doi:10.1017/s0305004100015681 
3. Fréchet, Maurice. «Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables». Fundamenta Mathematicae (em inglês). 9 (1). ISSN 0016-2736 
4. Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). «Extreme Value Distributions». Springer Berlin Heidelberg. International Encyclopedia of Statistical Science (em inglês): 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246