Teorema de Frisch-Waugh-Lovell

Ragnar Frisch

Em Econometria, o teorema Frisch–Waugh–Lovell (FWL) recebeu este nome em homenagem aos econometristas Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh e Michael C. Lovell.^[1] Ele dá uma alternativa para estimação de coeficientes econométricos.

Para entender este teorema, tome um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários (OLS, na conhecida sigla em inglês) do vetor y em relação a dois conjuntos de variáveis, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$. O número de observações de cada uma das variáveis é "n":

${\displaystyle Y={\color {Blue}X}\alpha +{\color {Red}Z}\beta +u\!}$,

ou, expandindo as matrizes,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {\color {Blue}{\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots \\x_{n1}&x_{n2}&\cdots &n_{1k}\end{bmatrix}}} \\{\mbox{matriz n x k}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \cdot {\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{bmatrix}} \\{\mbox{matriz k x 1}}\end{matrix}}+}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {\color {Red}{\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}&\cdots &z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots &z_{2m}\\\vdots \\z_{n1}&z_{n2}&\cdots &n_{1m}\end{bmatrix}}} \\{\mbox{matriz n x m}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \cdot {\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \\\beta _{m}\end{bmatrix}} \\{\mbox{matriz m x 1}}\end{matrix}}+}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}}$

O que o teorema afirma é que a estimação de sub-vetor ${\displaystyle \beta }$ será a mesma daquela obtida pela regressão modificada dada por:

${\displaystyle {\color {PineGreen}M_{X}}Y={\color {PineGreen}M_{X}}{\color {Red}Z}\beta +{\color {PineGreen}M_{X}}u\!,}$,

onde ${\displaystyle {\color {PineGreen}M_{X}}=I-{\color {Blue}X}(X'{\color {Blue}X})^{-1}X'.\!}$

Este resultado implica que todas as regressões secundárias são desnecessárias: usando matrizes de projeção (como ${\displaystyle {\color {PineGreen}M_{X}}}$) para tornar todas as variáveis ortogonais entre si resultará nos mesmos resultados que rodar a regressão com todos os não-ortogonais incluídos.

Referências

1. Michael C. Lovell, A Simple Proof of the FWL (Frisch-Waugh-Lovell) Theorem, 28 de dezembro de 2005 [em linha]

Ligações externas

• Método dos mínimos quadrados ordinários na forma matricial (em inglês)
• Teorema FWL wm um problema (em inglês)
• Representação geométrica do teorema FWL (em inglês)

Bibliografia

• Ragnar Frisch; Frederick V. Waugh "Partial Time Regressions as Compared with Individual Trends" Econometrica, 1 (4) (Oct., 1933), pp. 387–401.
• Lovell, M., 1963, Seasonal adjustment of economic time séries, Journal of the American Statistical Association, 58, pp. 993–1010.
• Lovell, M., 2008, A Simple Proof of the FWL (Frisch,Waugh,Lovell) Theorem, Journal of Economic Education.