Teorema dos ângulos externos

O teorema dos ângulos externos de um triângulo é um teorema de geometria que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior que os dois ângulos internos não adjacentes a ele ou ainda que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele^[1].

Um triângulo tem três vértices. Os lados de um triângulo que se em um vértice e formam um ângulo, que é chamado de ângulo interno.

Na figura abaixo observamos que os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}C=a}$, ${\displaystyle A{\hat {C}}B=c}$, ${\displaystyle C{\hat {B}}A=b}$ são os ângulos internos do triângulo ${\displaystyle ABC}$ e temos que ${\displaystyle A{\hat {C}}D=d}$ é um ângulo externo. Assim, um ângulo externo de um triângulo é o ângulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado adjacente. O ângulo externo é suplementar ao interno adjacente.^[2]

${\displaystyle d=a+b}$

Na verdade existem dois teoremas do ângulo externo, isto é, dois resultados que associam o ângulo externo aos ângulos internos não adjacentes, porém ambos se complementam e podem ser vistos como um único teorema. São eles:

1. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
2. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.

Demonstrações

Esses teoremas podem ser demonstrados de diversas formas.

A demonstração mais trivial passa pelo fato de que o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente.

Partindo-se disso, temos que:

${\displaystyle d=180^{\circ }-c}$.

Em todo triângulo temos que a soma de todos os ângulo internos é igual a dois ângulos retos, ou um ângulo raso, assim, temos:

${\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}$.

Podemos isolar o ${\displaystyle c}$, de modo a obter:

${\displaystyle c=180^{\circ }-a-b}$

Então aplicaremos essa última relação em ${\displaystyle d=180^{\circ }-c}$ e teremos:

${\displaystyle d=180^{\circ }-\left(180^{\circ }-a-b\right)=180^{\circ }-180^{\circ }+a+b=a+b\qquad \Longrightarrow \qquad {d=a+b}}$

Assim, temos que todo ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Pela condição de existência de um triângulo temos que nenhum dos ângulos internos será nulo, assim também temos que ${\displaystyle d>a}$ e ${\displaystyle d>b}$.

Referências

1. Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - 9. São Paulo: Atual 
2. «Texto_003: Ângulos internos e ângulos externos de um triângulo » Clubes de Matemática da OBMEP». clubes.obmep.org.br. Consultado em 14 de julho de 2016 

Bibliografia

• Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
• Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, ISBN 978-1-56414-936-7, Franklin Lakes, NJ: Career Press, pp. 88–90 . oeoe fdr