Teorias f(R) de gravitação

Teorias f(R) de Gravitação ou teorias f(R) são um tipo de teoria da interação gravitacional que generaliza a teoria da Relatividade Geral. A forma da função f(R), que na formulação Lagrangeana da Relatividade Geral é idêntica ao escalar de Ricci, se torna arbitrária, podendo ser construída de tal maneira a modificar a relação entre geometria e a dinâmica do espaço-tempo.

Teorias desse tipo são estudadas como uma forma de alternativa ao modelo padrão cosmológico, sem a necessidade da hipótese de uma constante cosmológica ou energia escura, assim como modelos de Universo Primordial^[1], e de teorias de ordem superior em gravidade quântica ^{[carece de fontes?]}.

Formulação Matemática

As equações de campo da Relatividade Geral podem ser obtidas a partir da variação funcional da ação de Einstein-Hilbert, dada por

$${\displaystyle S[g]=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {c^{2}}{16\pi G}}R,}$$ onde a métrica é a variável dinâmica da teoria.

A ideia das teorias f(R) é generalizar essa ação de tal maneira que o integrando da ação não seja mais o escalar de Ricci R mas uma função arbitrária do mesmo:

$${\displaystyle S[g]=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {c^{2}}{16\pi G}}f(R).}$$

Equações de Campo

Se assumirmos o formalismo métrico, isto é, assumirmos que a variável dinâmica da teoria é a métrica ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ e não a conexão ${\displaystyle \Gamma _{\rho }^{\mu \nu }}$, podemos fazer a extremização em relação à métrica obtendo

$${\displaystyle \delta S[g]=0\implies \quad {\frac {df}{dR}}{\frac {dR}{dg_{\mu \nu }}}\delta g_{\mu \nu }=f(R){\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }f(R)\delta g_{\mu \nu }.}$$ O método para escrever essa equação variacional na forma tensorial das equações é semelhante à das equações de campo de Einstein^[2]. Isso resulta nas equações de campo para teorias ${\displaystyle f(R)}$:

$${\displaystyle {\frac {df}{dR}}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu \nu }+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]{\frac {df}{dR}}={\frac {8\pi GT_{\mu \nu }}{c^{2}}},}$$ onde ${\displaystyle {\frac {df}{dR}}}$ denota a derivada da função f em relação ao escalar de Ricci; ${\displaystyle \Box }$ é o D'Alembertiano, e ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é o tensor de energia-momento dos campos de matéria.

História

A primeira teoria ${\displaystyle f(R)}$ data já de 3 anos após a formulação completa da Relatividade Geral, por Hermann Weyl^[3], que encontrou uma forma mais geral da Lagrangeana gravitacional na tentativa de unificar os campos gravitacional e eletromagnético. Buchdahl, em 1970, encontrou as equações de campo gerais para uma teoria do tipo, com um enfoque em modelos cosmológicos dentro desse tipo de teoria^[4]. Em 1980, Alexei Starobinski formulou um modelo de teoria f(R) para explicar a época inflacionária no Universo Primordial^[5]; o sucesso do seu modelo transformou a área em um campo ativo de pesquisa.

Exemplos

Modelo de Starobinsky

Um dos modelos mais consagrados de teoria f(R) é o modelo de inflação de Starobinsky ^[5], onde a forma da função é dada por

$${\displaystyle f(R)=R+\alpha R^{2},}$$ onde a constante de acoplamento ${\displaystyle \alpha }$ tem dimensões de inverso de massa ao quadrado.

Modelo de Hu-Sawicki

Modelos mais recentes de teorias f(R) envolvem principalmente a tentativa de explicar a fenomenologia do modelo padrão da cosmologia sem invocar a existência de uma constante cosmológica ou matéria escura. Um modelo bem sucedido nessa tarefa é o modelo de Hu-Sawicki, em que a forma da função é dada por

$${\displaystyle f(R)=R-m^{2}{\frac {c_{1}(R/m^{2})^{n}}{c_{2}(R/m^{2})^{n}+1}},}$$

onde ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$ e ${\displaystyle n}$ são parâmetros adimensionais; e ${\displaystyle m}$ é um parâmetro relacionado à escala de energia da teoria^[6].

Referências

1. De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010). «f(R) Theories». Living Reviews in Relativity. 13 (1): 3. Bibcode:2010LRR....13....3D. PMC 5255939. PMID 28179828. arXiv:1002.4928. doi:10.12942/lrr-2010-3 
2. Sotiriou, Thomas P. and Faraoni, Valerio (2010). «$f(R)$ theories of gravity». Review of Modern Physics. 82 (1): 451--497. doi:10.1103/RevModPhys.82.451  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
3. Weyl, H.. "Gravitation und Elektrizität" DOI 10.1103/PhysRevD.76.064004..
4. Buchdahl, H.A.. "Non-Linear Lagrangians and Cosmological Theory" DOI https://doi.org/10.1093/mnras/150.1.1..
5. Starobinsky, A.A. (1980). «A new type of isotropic cosmological models without singularity». Physics Letters B. 91 (1): 99–102. Bibcode:1980PhLB...91...99S. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X 
6. Hu, Wayne and Sawicki, Ignacy (2007). «Models of $f(R)$ cosmic acceleration that evade solar system tests». Physical Review D. 76 (6). 064004 páginas. doi:10.1103/PhysRevD.76.064004  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Ver também

• Albert Einstein
• Cosmologia
• David Hilbert
• Gravitação
• Relatividade Geral
• Teoria das Cordas