Vetor tangente

 Nota: Para um tratamento relacionado a vetores tangentes mais geral, mas mais técnico, veja Espaço tangente.

Na matemática, um vetor tangente é um vetor que é tangente a uma curva ou superfície em um dado ponto. Vetores tangentes são descritos na geometria diferencial de curvas no contexto de curvas em Rⁿ. Mais geralmente, vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável. Vetores tangentes também podem ser descritos em termos de germes. Formalmente, um vetor tangente no ponto ${\displaystyle x}$ é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de germes em ${\displaystyle x}$.

Motivação

Antes de prosseguir para uma definição geral do vetor tangente, discutiremos seu uso no cálculo e suas propriedades tensoras .

Cálculo

Sendo ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ uma curva suave paramétrica., o vetor tangente é dado por ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$, onde usamos um risco em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro t . ^[1] O vetor tangente unitário é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

Exemplo

Dada a curva

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, o vetor tangente unitário em ${\displaystyle t=0}$ é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

Contra variância

Se ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensionais xⁱ (aqui, usamos sobrescritos como um índice em vez do habitual) ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ ou

${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$

então o campo vetorial tangente ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ é dado por

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$

Sob uma mudança de coordenadas

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$

o vetor tangente ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ no sistema de coordenadas uⁱ é dado por

${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$

onde usamos a convenção de somatório de Einstein . Assim, um vetor tangente de uma curva suave será transformado como um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas. ^[2]

Definição

Deixe ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ser uma função diferenciável e deixe ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ser um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Definimos a derivada direcional na direção ${\displaystyle \mathbf {v} }$ em um ponto ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ por

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$

O vetor tangente no ponto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ pode então ser definido ^[3] como

${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv D_{\mathbf {v} }(f(\mathbf {x} ))\,.}$

Propriedades

Deixe ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ serem funções diferenciadas, vamos ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ ser vetores tangentes em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ às ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, e deixar ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ . Então

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$ .

Vetor tangente em variedades

Deixei ${\displaystyle M}$ ser um coletor diferenciável e deixar ${\displaystyle A(M)}$ ser a álgebra de funções diferenciáveis com valor real ${\displaystyle M}$ . Então o vetor tangente para ${\displaystyle M}$ em um ponto ${\displaystyle x}$ no coletor é dado pela derivação ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ que deve ser linear — ou seja, para qualquer ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ e ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ temos

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade Leibniz

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Referências

1. J. Stewart (2001)
2. D. Kay (1988)
3. A. Gray (1993)

Bibliografia

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press 
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole  .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill  .