Épsilon de máquina

Gráfico de ((1+x)-1)/x calculado em sistema de numeração do tipo 'double'. Idealmente o resultado seria 1, o gráfico mostra o efeito da perda de significância na operação (1+x) quando x é pequeno. Quando x se torna menor que o épsilon de máquina, a expressão se torna nula.

Em aritmética de ponto flutuante, denomina-se épsilon da máquina o menor número que somado a 1 produza resultado diferente de 1, ou seja, que não é arredondado. O épsilon de máquina representa a exatidão relativa da aritmética do computador, e a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de unidade de arredondamento ou menor número representável, e é simbolizado pela letra grega épsilon ${\displaystyle \epsilon }$.^[1][2]

Definição formal

Arredondamento é o processo de escolha da representação de um número real em um sistema numérico de ponto flutuante. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.

Algumas explicações são necessárias para se determinar o valor dessa definição. Um sistema numérico de ponto flutuante é caracterizado por uma base ${\displaystyle b}$, e por uma precisão ${\displaystyle p}$, por exemplo, o número de dígitos na base ${\displaystyle b}$ da mantissa (incluindo qualquer bit implícito). Todos os números com o mesmo expoente ${\displaystyle e}$ têm o espaçamento ${\displaystyle b^{e-(p-1)}}$. O espaçamento muda nos números que são potências perfeitas de ${\displaystyle b}$; o espaçamento no lado de maior magnitude é ${\displaystyle b}$ vezes maior que o espaçamento no lado de menor magnitude.

Uma vez que o épsilon de máquina é o limite do erro relativo, é suficiente considerar números com expoente ${\displaystyle e=0}$. Também é suficiente para considerar números positivos. Para o método de arredondamento do valor mais próximo, o erro absoluto de arredondamento é no máximo metade do espaçamento, ou ${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$. Este valor é o maior numerador possível para o erro relativo. O denominador no erro relativo é o número sendo arredondado, que deve ser o menor possível para tornar o erro maior. O maior erro relativo, portanto, acontece quando o arredondamento é aplicado a números na forma ${\displaystyle 1+a}$ onde ${\displaystyle a}$ está entre ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$. Todos esses números arredondam para ${\displaystyle 1}$ com erro relativo ${\displaystyle a/(1+a)}$. O máximo ocorre quando ${\displaystyle a}$ está no limite superior do intervalo. O ${\displaystyle 1+a}$ no denominador tem pouca importância, sendo deixado de fora por conveniência, e apenas ${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$ é tomado com o épsilon de máquina. Como foi mostrado aqui, o erro relativo é maior para números que são arredondados para ${\displaystyle 1}$, então o épsilon de máquina também é chamado de unidade de arredondamento, significando simplesmente "o máximo erro que pode ocorrer quando se arredonda para o valor unitário".

Assim, o máximo espaçamento entre um número normalizado em ponto flutuante ${\displaystyle x}$, e um número normalizado adjacente é ${\displaystyle 2\epsilon }$ x ${\displaystyle |x|}$.^[3]

Modelo aritmético

A análise numérica usa o épsilon de máquina para estudar os efeitos dos erros de arredondamento. Os reais erros da aritmética computacional são complexos demais para serem diretamente estudados, então, em vez disso, o seguinte modelo simplificado é utilizado. O padrão aritmético da IEEE define que todas as operações de ponto flutuante são feitas como se fosse possível executá-las com precisão infinita, e então o resultado é arredondado para um número de ponto flutuante. Suponha que (1) ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são números de ponto flutuante, que (2) ${\displaystyle \bullet }$ é uma operação aritmética em ponto flutuante como adição ou multiplicação, e que (3) ${\displaystyle \circ }$ é a operação de precisão infinita. De acordo com o padrão, o computador calcula:

${\displaystyle x\bullet y={\mbox{round}}(x\circ y)}$

Pela definição, o erro relativo do arredondamento é máximo quando igual ao épsilon da máquina, então:

${\displaystyle x\bullet y=(x\circ y)(1+z)}$

onde ${\displaystyle z}$ em grandeza absoluta é no máximo ${\displaystyle \epsilon }$.

Como determinar o épsilon de máquina

Os valores de épsilon de máquina a seguir se aplicam a formatos padronizados de ponto flutuante:

IEEE 754 - 2008	Nome usual	Tipo de dado em C++	Base ${\displaystyle b}$	Precisão ${\displaystyle p}$	Épsilon de máquina[a] ${\displaystyle b^{-(p-1)}/2}$	Épsilon de máquina[b] ${\displaystyle b^{-(p-1)}}$
binary16	meia precisão	indisponível	2	11 (um bit implícito)	2^-11 = 4.88e-04	2^-10 = 9.77e-04
binary32	precisão singular	float	2	24 (um bit implícito)	2^-24 = 5.96e-08	2^-23 = 1.19e-07
binary64	precisão dupla	double	2	53 (um bit implícito)	2^-53 = 1.11e-16	2^-52 = 2.22e-16
binary80	precisão estendida	_float80[4]	2	64	2^-64 = 5.42e-20	2^-63 = 1.08e-19
binary128	precisão quádrupla	_float128[4]	2	113 (um bit implícito)	2^-113 = 9.63e-35	2^-112 = 1.93e-34
decimal32	precisão singular decimal	_Decimal32[5]	10	7	5 × 10^-7	10^−6
decimal64	precisão dupla decimal	_Decimal64[5]	10	16	5 × 10^-16	10^−15
decimal128	precisão quádrupla decimal	_Decimal128[5]	10	34	5 × 10^-34	10^−33

^a de acordo com Prof. Demmel, LAPACK, Scilab ^b de acordo com Prof. Higham; Padrão ISO C; constantes de linguagem C, C++ e Python; Mathematica, MATLAB e Octave

O épsilon de máquina de um sistema pode ser aproximado (a um fator de 2) pelo seguinte algoritmo em pseudocódigo: ^[6]

eps=1

while (eps+1) > 1
   eps=eps/2
end

eps=eps*2

Cancelamento catastrófico

Ver artigo principal: Cancelamento catastrófico

O cancelamento catastrófico é um efeito que ocorre quando excedemos o limite de precisão do sistema de numeração, sendo caracterizado por um aumento substancial do erro relativo dos resultados. O exemplo característico desse tipo de erro é quando o resultado da subtração de dois números se aproxima do valor do épsilon de máquina.^[7]

Veja também

• Ponto flutuante, discussão geral sobre precisão em aritmética de ponto flutuante
• Propagação de erros

Referências

1. Bortoli, Álvaro L.; Cardoso, Carolina; Fachin, Maria P. G.; Cunha, Rudnei D (2003). Introdução a Cálculo Numérico (PDF). [S.l.: s.n.] p. 15 ^{[ligação inativa]}
2. Sanches, Carlos A. A (2012). Matemática Computacional: Erros de Arredondamento (PDF). [S.l.: s.n.] 
3. Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2 ed). [S.l.]: SIAM. 37 páginas 
4. Floating Types - Using the GNU Compiler Collection (GCC)
5. Decimal Float - Using the GNU Compiler Collection (GCC)
6. E. Elliott Ward Cheney, David Ronald Kincaid (2012). Numerical mathematics and computing. [S.l.]: Cengage Learning 
7. L.A.Sphaier, L.S.B.Alves. Representação de Números, Erros Numéricos e Aritmética Computacional. Disponível em www.sphaier.com