Apeirotop

Un apeirotop sau politop infinit este generalizarea unui politop care are un număr infinit de fețe.

Definiție

Apeirotop abstract

Un 𝘯-politop abstract^⁠(d) este o mulțime parțial ordonată^⁠(d) P (ale cărei elemente se numesc fețe) astfel încât P conține fețele de cel mai mic și cel mai mare rang, fiecare submulțime maximă total ordonată (numită steag) conține exact n + 2 fețe, P este tare conex și există exact două fețe care se află strict între a și b, care sunt două fețe ale căror ranguri diferă cu doi.^[1][2] Un poliop abstract s numește apeirotop abstract dacă are un număr infinit de fețe.^[3]

Un politop abstract este regulat dacă grupul său de automorfisme Γ(P) acționează tranzitiv pe toate steagurile lui P.^[4]

Clasificare

Există două clase principale de apeirotopuri:^[5]

• faguri n-dimensionali, care umplu complet spațiul n-dimensional;
• apeirotopuri nealiniate, cuprinzând varietăți n-dimensionale din spații cu dimensiuni superioare.

Faguri

Articol principal: Fagure (geometrie)

În general, un fagure n-dimensional este un exemplu infinit de politop în spațiul (n+1)-dimensional.

Pavarea planului și împachetările spațiale compacte ale poliedrelor sunt exemple de faguri în două, respectiv trei dimensiuni.

O dreaptă împărțită în infinit de multe segmente finite este un exemplu de apeirogon.

Apeirotopuri nealiniate

Apeirogoane necoliniare

Articol principal: Apeirogon necoliniar

Un apeirogon necoliniar bidimensional formează în plan o linie în zigzag. Dacă zigzagul este uniform și simetric, atunci apeirogonul este regulat.

Apeirogoanele necoliniare pot fi construite în orice număr de dimensiuni. În trei dimensiuni, un apeirogon elicoidal trasează o elice și poate fi fie pe stânga, fie pe dreapta.

Poliedre infinite nealiniate

Există trei apeiroedre nealiniate regulate, care arată ca un burete de poliedre:

• 6 pătrate în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {4,6|4};
• 4 hexagoane în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {6,4|4};
• 6 hexagoane în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {6,6|3}.

Există treizeci de apeiroedre regulate în spațiul euclidian.^[6] Acestea includ pe cele enumerate mai sus, precum și (în plan) politopuri de tip: {∞,3}, {∞,4}, {∞,6} și în spațiul tridimensional, amestecuri ale acestora fie cu un apeirogon, fie un segment și apeiroedre tridimensionale „pure” (12 la număr).

Note

1. McMullen & Schulte (2002), pp. 22–25.
2. McMullen (1994), p. 224.
3. McMullen & Schulte (2002), p. 25.
4. McMullen & Schulte (2002), p. 31.
5. Grünbaum (1977).
6. McMullen & Schulte (2002, Section 7E)

Bibliografie

• en Grünbaum, B. (1977). „Regular Polyhedra—Old and New”. Aeqationes mathematicae. 16: 1–20. 
• en McMullen, Peter (1994), „Realizations of regular apeirotopes”, Aequationes Mathematicae, 47 (2-3): 223–239, doi:10.1007/BF01832961, MR 1268033 
• en McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 92, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511546686, ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665 

Portal Matematică