Despre spirale

Despre spirale
Informații generale
Autor	Arhimede
Subiect	spirala lui Arhimede trisecțiunea unghiului cuadratura cercului
Gen	eseu
Ediția originală
Titlu original	Περὶ ἑλίκων
Limba	limba greacă veche
Data primei apariții	secolul al III-lea î.Hr.
Modifică date / text

Despre spirale (Περὶ ἑλίκων) este un tratat al lui Arhimede din anul 225 î.Hr. Această lucrare conține 28 de propoziții, iar problemele legate de spirale se găsesc de la propoziția 12 la 28 și se ocupă cu ceea ce se numește în prezent Spirala lui Arhimede. Deși Arhimede nu a descoperit spirala, el a scris acest tratat pentru a rezolva cuadratura cercului și trisecțiunea unghiului.^[1]

Conținut

Prefață

Arhimede începe lucrarea Despre Spirale cu un mesaj către Dositheus din Pelusium, menționând moartea lui Conon din Samos ca o pierdere pentru matematică. Apoi continuă cu rezumatul rezultatelor din lucrările Despre Sferă și Cilindru și Despre Concoide și Sferoide. Lucrarea se termină cu rezultatele lui Arhimede despre spirale.

Spirala lui Arhimede

Articol principal: Spirala lui Arhimede.

Spirala lui Arhimede cu trei rotaţii de 360°

Spirala lui Arhimede a fost studiată pentru prima dată de Conon, iar apoi de Arhimede în lucrarea Despre Spirale, dar Arhimede a fost capabil să găsească diverse tangente la spirală.^[2] El a definit spirala astfel:

“

Dacă o dreaptă cu una din extremități rămânând fixă este făcută să se rotească cu o viteză unghiulară uniformă într-un plan până se reîntoarce în poziția inițială, și dacă, în același timp cu rotația dreptei un punct se mișcă cu viteză uniformă de-a lungul dreptei, începând de la extremitatea fixă, punctul va descrie o spirală în plan.[3]

”

Trisecțiunea unui unghi

Articol principal: Trisecțiunea unghiului.

Exemplu de modul în care Arhimede a împărțit un unghi în trei părți egale, în lucrarea Despre spirale.

Modul în care Arhimede a împărțit un unghi în trei părți egale este următorul:

Să presupunem că unghiul ABC trebuie împărțit în trei părți egale. Împărțim segmentul BC în trei părți egale și găsim că BD este egal cu o treime din BC. Desenăm un cerc cu centrul în B și de rază BD. Presupunem că cercul cu centrul în B intersectează spirala în E. Unghiul ABE este egal cu o treime din unghiul ABC.^[4]

Cuadratura cercului

Articol principal: Cuadratura cercului.

Cercul şi triunghiul au arii egale.

Pentru cuadratura cercului Arhimede a dat următoarea construcție:

Fie P punctul de pe spirală după ce aceasta a efectuat o rotație completă. Tangenta din P la spirală taie dreapta perpendiculară pe OP în T. OT este lungimea circumferinței cercului de rază OP.

Arhimede demonstrase deja în prima propoziție din lucrarea Măsurarea cercului că aria unui cerc este egală cu aria unui triunghi dreptunghic care are lungimea unei laturi adiacente unghiului drept egală cu raza cercului, iar cealaltă latură egală cu circumferința cercului. Deci, aria cercului de rază PO este egală cu aria triunghiului OPT.^[5]

Note

1. „Spiral”. Encyclopædia Britannica. 2008. Accesat în 29 iulie 2008. 
2. Eric W. Weisstein, Archimedes' Spiral la MathWorld.
3. Heath, Thomas Little (1921), A History of Greek Mathematics, Boston: Adamant Media Corporation, p. 64, ISBN 0543968774, accesat în 20 august 2008 
4. Tokuda, Naoyuki; Chen, Liang (18 martie 1999), Trisection Angles (PDF), Utsunomiya University, Utsunomiya, Japan, pp. 5–6, arhivat din original (PDF) la 22 iulie 2011, accesat în 20 august 2008 
5. „History topic: Squaring the circle”. Accesat în 20 august 2008. 

Legături externe

• Traducere englezească: The Works of Archimedes, traducere de T.L. Heath; suplimentată de The Method of Mechanical Theorems, traducere L.G. Robinson