Grup finit generat

Grupul diedral de ordin 8⁠(d) necesită doi generatori, reprezentate de această diagramă de ciclu⁠(d).

În algebră, un grup finit generat este un grup G care are o mulțime de generatori⁠(d) S finită, astfel încât orice element al lui G să poată fi scris ca o combinație (prin operația grupului) de un număr finit de elemente ale mulțimii finite S și de inversele acestor elemente.[1]

Prin definiție, orice grup finit este și finit generat, deoarece S poate fi considerat a fi G însuși. Orice grup infinit finit generat trebuie să fie numărabil, dar grupurile numărabile nu sunt neapărat și finit generate. Grupul aditiv al numerelor raționale Q este un exemplu de grup numărabil și care nu este finit generat.

Exemple

[modificare | modificare sursă]

Grupuri abeliene finit generate

[modificare | modificare sursă]
Cele șase rădăcini de gradul șase ale unității formează un grup ciclic în raport cu înmulțirea.

Orice grup abelian poate fi văzut ca un modul⁠(d) peste inelul numerelor întregi Z, și într-un grup abelian finit generat⁠(d) cu generatorii x1, ..., xn, orice element x al grupului poate fi scris ca combinație liniară⁠(d) a acestor generatori,

x = α 1 ⋅ x 1 + α 2 ⋅ x 2 + ... + α n ⋅ x s

cu α 1, ..., α n numere întregi.

Subgrupurile unui grup abelian finit generat sunt ele însele finit generate.

Teorema fundamentală a grupurilor abeliene finit generate⁠(d) afirmă că un grup abelian finit generat este suma directă⁠(d) a unui grup abelian liber⁠(d) de rang finit și un grup abelian finit, fiecare dintre acestea fiind unice până la izomorfism.

Subgrupuri

[modificare | modificare sursă]

Un subgrup al unui grup finit generat nu este neapărat finit generat. Subgrupul comutator⁠(d) al grupului liber⁠(d) F2 pe două generatoare este un exemplu de subgrup al unui grup finit generat care nu este finit generat.

Pe de altă parte, toate subgrupurile unui grup abelian finit generat sunt finit generate.

Un subgrup de indice⁠(d) finit al unui grup finit generat este întotdeauna finit generat, iar formula Schreier a indicelui⁠(d) dă o legătură cu numărul de generatori necesari.[2]

În 1954, Albert G. Howson a arătat că intersecția a două subgrupuri finit generate de un grup liber este și ea finit generată. În plus, dacă m și n sunt numerele de generatori ai celor două subgrupuri finit generate, atunci intersecția lor este generată de cel mult 2mn − m − n + 1 generatori.[3] Această limită superioară a fost apoi îmbunătățită semnificativ de către Hanna Neumann⁠(d) la 2(m − 1)(n − 1) + 1, vezi conjectura Hanna Neumann⁠(d).

Laticea de subgrupuri⁠(d) a unui grup satisface condiția de înlănțuire ascendentă dacă și numai dacă toate subgrupurile grupului sunt finit generate. Un grup care are proprietatea că toate subgrupurile sale sunt finit generate se numește noetherian⁠(d).

Un grup cu proprietatea că orice subgrup finit generat este și finit se numește local finit⁠(d). Orice grup local finit este periodic⁠(d), adică fiecare element are un ordin finit. Analog, orice grup abelian periodic este local finit.[4]

Aplicații

[modificare | modificare sursă]

Teoria geometrică a grupurilor studiază legăturile dintre proprietățile algebrice ale grupurilor finit generate și proprietățile topologice și geometrice ale spațiilor pe care acționează⁠(d) aceste grupuri.

Noțiuni asociate

[modificare | modificare sursă]

Problema cuvântului⁠(d) pentru un grup finit generat este problema deciziei⁠(d) dacă două cuvinte⁠(d) din generatorii grupului reprezintă același element. Problema cuvântului pentru un anumit grup finit generat este rezolvabilă dacă și numai dacă grupul poate fi încorporat în toate grupurile algebrice închise⁠(d).

Rangul unui grup⁠(d) este adesea definit a fi cel mai mic cardinal⁠(d) al unei mulțimi de generatori pentru grup. Prin definiție, rangul unui grup finit generat este finit.

Note

[modificare | modificare sursă]
  1. ^ Gregorac, Robert J. „A note on finitely generated groups” (PDF). American Mathematical Society. Accesat în . 
  2. ^ Rose (2012), p. 55.
  3. ^ Howson, Albert G. (). „On the intersection of finitely generated free groups”. London Mathematical Society⁠(d). 29: 428–434. doi:10.1112/jlms/s1-29.4.428. 
  4. ^ Rose (2012), p. 75.

Bibliografie

[modificare | modificare sursă]
  • Rose, John S. () [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7.