Icosidodecadodecaedru

Icosidodecadodecaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	44 (12 pentagoane,       12 pentagrame,       20 hexagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−16
Configurația vârfului	5.6.5/3.6[1]
Simbol Wythoff	5/3 5 | 3[1] sau 5/2 5/4 | 3
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	20 a^3   (a = latura)
Poliedru dual	hexacontaedru icosacronic medial
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie icosidodecadodecaedrul este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₄₄. Are 44 de fețe (12 pentagoane, 12 pentagrame și 20 de hexagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 44 de fețe, este un tetracontatetraedru.

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin. Figura vârfului este un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 5/3 5 | 3.^[1]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosidodeacadodecaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările ale:^[2][3]

${\displaystyle \left(\,\pm (2\varphi -1),\,\pm 1,\,\pm 1\,\right)}$

plus permutările pare ale

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2-\varphi ),\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 2,\,\pm (\varphi -1),\,\pm \varphi \,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise este distanța comună a vârfurilor față de origine, și anume ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ pentru lungimea laturii egală cu 2. Pentru lungimea laturii a, această valoare devine:^[4]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {7}}{2}}\,a\approx 1,322876\,a.}$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=20\,a^{3}}$

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu compusul de zece prisme triunghiulare și compusul de douăzeci de prisme triunghiulare. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu rombidodecadodecaedrul (având în comun fețele pentagonale și cele pentagramice) și cu rombicosaedrul (având în comun fețele hexagonale).

Anvelopa convexă	Rombidodecadodecaedru	Icosidodecadodecaedru
Rombicosaedru	Compus de zece prisme triunghiulare	Compus de douăzeci de prisme triunghiulare

Dual: hexacontaedru icosacronic medial

Poliedru dual

Dualul său este hexacontaedru icosacronic medial.^[5]

Note

1. ^ en Maeder, Roman. „44: icosidodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în 3 ianuarie 2024. 
2. en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
3. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
4. en Eric W. Weisstein, Icosidodecadodecahedron la MathWorld.
5. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: ided