Inegalitatea Popoviciu pentru varianță

În teoria probabilităților, inegalitatea Popoviciu, numită după Tiberiu Popoviciu, este o margine superioară a varianței σ² oricărei distribuții de probabilitate mărginite. Fie M și m marginile superioară și inferioară ale valorilor oricărei variabile aleatoare cu o anumită distribuție de probabilitate. Atunci ingealitatea Popoviciu este:^[1]

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.}$

Această inegalitate este precisă atunci când o jumătate din probabilitate este concentrată în apropierea uneia dintre cele două margini.

Sharma et al au îmbunătățit inegalitatea Popoviciu:^[2]

${\displaystyle {\sigma ^{2}+\left({\frac {\text{Al treilea moment central}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{2}}\leq {\frac {1}{4}}(M-m)^{2}.}$

Dacă mărimea eșantionului este finită atunci inegalitatea von Szokefalvi Nagy^[3] dă o margine inferioară a varianței

${\displaystyle \sigma ^{2}\geq {\frac {(M-m)^{2}}{2n}}}$

unde n este mărimea eșantionului.

Inegalitatea Popoviciu este mai slabă decât inegalitatea Bhatia–Davis care arată că

${\displaystyle \sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m)}$

unde μ este așteptarea pentru variabila aleatoare.

O margine inferioară a varianței bazată pe inegalitatea Bhatia–Davis a fost descoperită de Agarwal et al^[4]

${\displaystyle (M-\mu )(\mu -m)-{\frac {(M-m)^{3}}{6}}\leq \sigma ^{2}}$

Note

1. Popoviciu, T. (1935). „Asupra ecuațiilor algebrice care au toate rădăcinile reale”. Mathematica (Cluj) (fr.). 9: 129–145. 
2. Sharma, R., Gupta, M., Kapoor, G. (2010). „O margine mai bună a varianței cu aplicații”. Jurnalul inegalităților matematice (en.). 4: 355–363. doi:10.7153/jmi-04-32. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
3. Nagy JVS (1918) Uber algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln, Jahresbericht der deutschen mathematiker-Vereingung, 27:37–43
4. Agarwal RP, Barnett NS, Cerone P și Dragomir SS (2005) Un studiu al inegalităților așteptării și varianței. Calculatoare și matematică aplicată 49 (2005) (en.) 429-480