Marele dodecahemicosaedru

Marele dodecahemicosaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	22 (12 pentagoane,       10 hexagoane)
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	30
χ	−8
Configurația vârfului	5.6.5/4.6[1]
Simbol Wythoff	5/4 5 | 3[1] (acoperire dublă)
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă)
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Grup de rotație	I, [5,3]^+, (532)
Poliedru dual	micul dodecahemicosacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele dodecahemicosaedru este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₆₅. Are 22 de fețe (12 pentagoane și 10 hexagoane), 60 de laturi și 30 de vârfuri.^[1] Având 22 de fețe, este un icosidiedru.

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin (cu acoperire dublă a hexagoanelor). Figura vârfului alternează două pentagoane regulate cu două hexagoane regulate formând un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este un hemipoliedru cu zece fețe hexagonale care trec prin centrul poliedrului. Este neorientabil.^[1]

Are simbolul Wythoff 5/4 5 | 3.^[1]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu icosidodecaedrul, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mare dodecahemidodecaedru în origine cu lungimea laturii 2 sunt date de permutările pare ale:^[2][3]

${\displaystyle (0,\,0,\,\pm \varphi )}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm \varphi ,\,\pm \varphi ^{2}\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi }$ este secțiunea de aur, ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$.

Raza circumscrisă

Deoarece cele 10 hexagoane trec prin centrul poliedrului, raza circumscrisă este egală cu lungimea laturilor, a.^[4]

${\displaystyle R=a.}$

Poliedre înrudite

Anvelopa sa convexă este icosidodecaedrul. Are în comun aranjamentul laturilor cu dodecadodecaedrul (având fețele pentagonale în comun cu anvelopa sa convexă) și cu micul dodecahemicosaedru (având în comun fețele hexagonale).

Dodecadodecaedru	Micul dodecahemicosaedru
Marele dodecahemicosaedru	Icosidodecaedru

Dual: Micul dodecahemicosacron

Poliedru dual

Dualul său este micul dodecahemicosacron.^[5]

Note

1. ^ en Maeder, Roman. „65: small dodecahemicosahedron”. MathConsult. Accesat în 12 decembrie 2023. 
2. en Coxeter, 1973, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
3. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
4. en Eric W. Weisstein, Great dodecahemicosahedron la MathWorld.
5. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: gidhei