Micul icosidodecaedru ditrigonal

Micul icosidodecaedru ditrigonal
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	32 (20 triunghiuri,       12 pentagrame)
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	20
χ	−8
Configurația vârfului	(3.5/2)^3[1]
Simbol Wythoff	3 | 5/2 3[1]
Simbol Schläfli	a{5/2,3} sau c{3,5/2}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	≈2,981 a^3   (a = latura)
Poliedru dual	micul icosaedru triambic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul icosidodecaedru ditrigonal este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₃₀. Are 32 de fețe (20 triunghiuri și 12 pentagrame), 60 de laturi și 20 de vârfuri.^[1] Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Schläfli extins a{5,3} ca dodecaedru alternat și diagrama Coxeter sau  . Este construit în triunghiul Schwarz (3 3 5/2) cu simbolul Wythoff 3 | 5/2 3. Figura hexagonală a vârfului său alternează fețe triunghulare regulate și pentagrame.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu dodecaedrul, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui dodecadodecaedru ditrigonal cu lungimea laturii 2, centrat în origine,^[2][3] sunt toate permutările ale:

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm 1\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm \varphi ,\,\pm (\varphi -1),\,0\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Pentru lungimea laturii egală cu a, raza sferei circumscrise este:^[4]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a\approx 0,866025\,a.}$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}{\sqrt {5}}\,a^{3}\approx 2,981424~a^{3}.}$

Poliedre înrudite

Anvelopa sa convexă este un dodecaedru. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu marele icosidodecaedru ditrigonal (având în comun fețele triunghiulare), dodecadodecaedrul ditrigonal (având în comun fețele pentagramice) și compusul de cinci cuburi regulat. Ca poliedru simplu, este și un icosaedru trunchiat hexakis.

a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=	=
Micul icosidodecaedru ditrigonal	Marele icosidodecaedru ditrigonal	Dodecadodecaedru ditrigonal
Dodecaedru (anvelopa convexă)	Compus de cinci cuburi	Compus sferic de 5 cuburi

Dual: micul icosaedru triambic

Poliedru dual

Dualul său este micul icosaedru triambic.^[5]

Note

1. ^ en Maeder, Roman. „30: small ditrigonal icosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 23 decembrie 2023. 
2. en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
3. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
4. en Eric W. Weisstein, Small Ditrigonal Icosidodecahedron la MathWorld.
5. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals
• en model VRML

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: sidtid