Număr centrat cubic

Număr centrat cubic

35 de puncte într-o rețea cubică centrată pe corp, formând două straturi cubice în jurul unui punct central
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere poliedrice
Formula	${\displaystyle n^{3}+(n+1)^{3}}$
Primii termeni	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559
Index OEIS	A005898 Centered cube

Un număr centrat cubic este un număr figurativ centrat care dă numărul de puncte dintr-un model tridimensional format dintr-un punct înconjurat de straturi cubice concentrice de puncte, cu ${\displaystyle i^{2}}$ puncte pe fețele pătrate ale stratului i. Echivalent, este numărul de puncte dintr-un model cubic centrat care are n+1 puncte de-a lungul fiecărei laturi.

Primele numere centrate cubice sunt:^[1]

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, 10745, 12691, 14859, 17261, 19909, 22815, 25991, 29449, 33201, 37259, 41635, 46341, 51389, 56791, 62559, 68705, 75241, 82179, 89531, 97309, 105525, …

Formule

Numerele centrate cubice pentru un model cu n straturi concentrice în jurul punctului central este dat de formula:^[2]

${\displaystyle n^{3}+(n+1)^{3}=(2n+1)\left(n^{2}+n+1\right).}$

Aceste numere poate fi exprimate și ca numere trapezoidale (diferență de două numere triunghiulare), sau o sumă de numere consecutive, ca:^[3]

${\displaystyle {\binom {(n+1)^{2}+1}{2}}-{\binom {n^{2}+1}{2}}=(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.}$

Proprietăți

Din cauza factorizării ${\displaystyle (2n+1)(n^{2}+n+1)}$, este imposibil ca numerele centrate cubice să fie numere prime.^[1] Singurul număr centrat cubic care este și un pătrat este 9,^[4][5] ceea ce se poate demonstra rezolvând ecuația ${\displaystyle 2n+1=n^{2}+n+1}$.

Note

1. ^ Șirul A005898 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
2. en Deza, Elena; Deza, Michel (2012), Figurate Numbers, World Scientific, pp. 121–123, ISBN 9789814355483 
3. en Lanski, Charles (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Society, p. 22, ISBN 9780821874288 .
4. en Stroeker, R. J. (1995), „On the sum of consecutive cubes being a perfect square”, Compositio Mathematica, 97 (1–2): 295–307, MR 1355130 
5. en O'Shea, Owen; Dudley, Underwood (2007), The Magic Numbers of the Professor, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, p. 17, ISBN 9780883855577 

Legături externe

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Centered Cube Number la MathWorld.