Număr pentatopic

Număr pentatopic

Generarea numerelor n-simplectice pe baza triunghiului lui Pascal
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere politopice
Formula	${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$
Primii termeni	1, 5, 15, 35, 70, 126, 210
Index OEIS	A000332 Binomial(n,4)

Numărul pentatopic de 70 de sfere poate fi aranjat într-o figură cu latura bazei de 5 sfere. Fiecare strat reprezintă un număr tetraedric, de exemplu, cel de jos (verde) are 35 de sfere

Un număr pentatopic sau 4-simplectic este un număr figurativ.^[1] Șirul acestor numere apare într-a cincea poziție din rândurile din triunghiul lui Pascal, indiferent că triunghiul este citit de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, începând cu rândul al cincilea 1 4 6 4 1. Este și numărul de 3-fețe (celule) al unui n-simplex.

Primele numere de acest tip sunt:^[2]

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365

Formule

Formula pentru al n-lea număr pentatopic este dată de raportul dintre al 4-lea factorial crescător al n și factorial de 4:^[3][4]

${\displaystyle P_{n}={\frac {n+3}{4}}T_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$.

unde ${\displaystyle T_{n}}$ reprezintă al n-lea număr tetraedric.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate de coeficienții binomiali:^[5]

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

care este numărul de seturi de 4 elemente care pot fi selectate dintre n + 3 elemente.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate ca suma primelor n numere tetraedrice:^[2]

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{n},}$

Funcția generatoare pentru numerele pentatopice este^[4]

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}$

Note

1. en Deza, Elena; Deza, M. (2012), „3.1 Pentatope numbers and their multidimensional analogues”, Figurate Numbers, World Scientific, p. 162, ISBN 9789814355483 
2. ^ Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
3. Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
4. ^ en Eric W. Weisstein, Pentatope Number la MathWorld.
5. Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

Portal Matematică