Număr poligonal central

Nu confundați cu număr centrat poligonal.

Număr poligonal central

Nr. total de termeni	infinit
Subșir al	număr poligonal
Formula	${\displaystyle {\frac {n^{2}+n+2}{2}}}$[1]
Primii termeni	1, 2, 4, 7, 11, 16, 22 [1]
Index OEIS	A000124 central polygonal numbers

Prăjitură rotundă tăiată în 7 bucăți prin trei tăieturi

În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, n, de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru n succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în engleză lazy caterer's sequence). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un aranjament de drepte^⁠(d). Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea aranjament de hiperplane^⁠(d).

Analogul tridimensional al acestui șir este șirul numerelor de tort.

Formula șirului

Numărul maxim de regiuni p care se pot obține prin n tăieturi drepte este al n-lea număr triunghiular plus 1, formând șirul tăietorului leneș

În triunghiul lui Bernoulli șirul tăietorului leneș este cel colorat verde

Numărul maxim de regiuni p care se pot obține prin n tăieturi drepte, unde n ≥ 0, este dat de formula:^[1]

${\displaystyle p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

Folosind coeficienții binomiali, formula poate fi exprimată sub forma:

${\displaystyle p=1+{\dbinom {n+1}{2}}={\dbinom {n}{0}}+{\dbinom {n}{1}}+{\dbinom {n}{2}}.}$

De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli (k = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din n tăieturi, unde n ≥ 2.

Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal:^[2]

k n	0	1	2		Suma
0	1	-	-		1
1	1	1	-		2
2	1	2	1		4
3	1	3	3		7
4	1	4	6		11
5	1	5	10		16
6	1	6	15		22
7	1	7	21		29
8	1	8	28		37
9	1	9	36		46

Șirul, începând cu n = 0, este:^[1]

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.^[3]

Demonstrație

Numărul maxim de bucăți obținute prin tăieturi consecutive sunt numerele din șirul tăietorului leneș

Când un disc este tăiat de n ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca p = f(n), trebuie luată în considerare a n-a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este f(n − 1), în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este n.

Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a n-a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a n-a dreaptă în sine este tăiată în n − 1 locuri și în n segmente. Fiecare segment divide (n − 1) bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact n la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.

Astfel, numărul total de piese după n tăieturi este:

${\displaystyle f(n)=n+f(n-1).}$

Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă f(n − 1) este extins cu un termen, relația devine:

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+f(n-2).}$

Dezvoltarea termenului f(n − 2) poate continua până când ultimul termen este redus la f(0), astfel,

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).}$

Fiindcă f(0) = 1, deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:

${\displaystyle f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).}$

Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:

${\displaystyle f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

Note

1. ^ Șirul A000124 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
2. Șirul A000124 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
3. en Yaglom, Akiva; Yaglom, Isaak (1987). Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. 1. New York: Dover Publications. 

Bibliografie

• en Moore, T. L. (1991), „Using Euler's formula to solve plane separation problems”, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi:10.2307/2686448, JSTOR 2686448 
• en Steiner, J. (1826), „Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")”, J. Reine Angew. Math., 1: 349–364 
• en Wetzel, J. E. (1978), „On the division of the plane by lines” (PDF), American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, arhivat din original (PDF) la 21 iulie 2011, accesat în 15 decembrie 2008 

Vezi și

• Triunghiul lui Floyd

Legături externe

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Circle Division by Lines la MathWorld.