Produs extern

Nu confundați cu Produs exterior.

În algebra liniară, produsul extern,[1] (sau produsul diadic[1]) a doi vectori de coordonate este o matrice. Dacă cei doi vectori au dimensiunile n și m, atunci produsul lor exterior este o matrice n × m. Mai general, având în vedere doi tensori (matrici multidimensionale), produsul lor extern este un tensor. Produsul extern al tensorilor este denumit și produsul tensorial⁠(d) al acestora și poate fi folosit pentru a defini algebra tensorială⁠(d).

Produsul extern diferă de:

Fiind dați doi vectori de dimensiunile și produsul lor extern, notat este matricea obținută prin înmulțirea fiecărui element al cu fiecare element al :[2]

Sau, în notație indexată:

Notând produsul scalar cu dacă se dă un vector atunci Dacă se dă un vector atunci

Dacă și sunt vectori de aceeași dimensiune mai mare decât 1, atunci

Produsul extern este echivalent cu înmulțirea matricilor cu conditia ca să fie un vector coloană iar un vector coloană (care produc vectorul linie ).[3][4] De exemplu, dacă și atunci[5]

Pentru vectori complecși este adesea util să se ia adjuncta lui denumită sau :

Deosebirea față de produsul intern euclidian

[modificare | modificare sursă]

Dacă atunci se poate obține produsul matricial pe altă cale, obținând un scalar (sau o matrice ):

care este produsul intern standard pentru spații vectoriale euclidiene,[4] cunoscut mai bine sub denumirea de produs scalar. Produsul scalar este urma produsului extern.[6] Spre deosebire de produsul scalar, produsul extern este necomutativ.

Înmulțirea unui vector cu o matrice poate fi scrisă în termenii produsului intern, folosind relația .

Produsul extern al tensorilor

[modificare | modificare sursă]

Fiind dați doi tensori, cu dimensiunile și , produsul lor extern este un tensor cu dimensiunile și elementele

De exemplu, dacă este de ordinul 3 cu dimensiunile și este de ordinul 2 cu dimensiunile atunci produsul lor extern este de ordinul 5 cu dimensiunile Dacă are o componentă A[2, 2, 4] = 11 iar are o componentă B[8, 88] = 13, atunci componenta formată din produsul extern este C[2, 2, 4, 8, 88] = 143.

  1. ^ a b Emil Petre, Optimizări, Cap. 1 Introducere în problematica optimizării sistemelor, (curs, 2008), Universitatea din Craiova, p. 1–11, accesat 2023-04-13, (arhivat)
  2. ^ en Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (). Encyclopaedia of PhysicsNecesită înregistrare gratuită (ed. 2nd). VHC. ISBN 0-89573-752-3. 
  3. ^ en Lipschutz, S.; Lipson, M. (). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (ed. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  4. ^ a b en Keller, Frank (). „Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product” (PDF). inf.ed.ac.uk. Accesat în . 
  5. ^ en James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press, ISBN: 0-306-42433-9
  6. ^ en Stengel, Robert F. (). Optimal Control and Estimation. New York: Dover Publications. p. 26. ISBN 0-486-68200-5. 

Lectură suplimentară

[modificare | modificare sursă]