Внутренняя метрика

Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения

Метрика ${\displaystyle \rho }$ на пространстве ${\displaystyle X}$ называется внутренней, если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ расстояние между ними определяется формулой ${\displaystyle \rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},}$ где ${\displaystyle L(\gamma )}$ обозначает длину пути ${\displaystyle \gamma }$ и точная нижняя грань берётся по всем путям ${\displaystyle \gamma }$, соединяющим точки ${\displaystyle x,y\in X}$.

Связанные определения

• Пусть ${\displaystyle x,y\in X}$ — две произвольные точки метрического пространства ${\displaystyle \rho ,X}$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ — произвольное положительное число. Точка ${\displaystyle z_{\varepsilon }\in X}$ называется их ${\displaystyle \varepsilon }$-серединой, если ${\displaystyle \rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2}}\rho (x,y)+\varepsilon .}$

• Метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ называется геодезическим, если любые две точки ${\displaystyle X}$ можно соединить кратчайшей.

Свойства

• Если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует их ${\displaystyle \varepsilon }$-середина.
  • Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует их ${\displaystyle \varepsilon }$-середина, то эта метрика внутренняя.
• Полное метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся кривая длины ${\displaystyle <\rho (x,y)+\varepsilon ,}$ соединяющая точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.
• В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
• Теорема Хопфа — Ринова: Если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки ${\displaystyle X}$ можно соединить кратчайшей. Более того, пространство ${\displaystyle X}$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества ${\displaystyle X}$ являются компактными).
• Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Примеры

• Риманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерова геометрия

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4