Жорданов тотиент

Жорданов тотиент или Функция Жордана^[1] — количество ${\displaystyle k}$-кортежей натуральных чисел меньших либо равных ${\displaystyle n}$, образующих вместе с ${\displaystyle n}$ набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна ${\displaystyle J_{1}}$. Функция носит имя французского математика Жордана.

Определение

Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$, где ${\displaystyle p}$ пробегает простые делители числа ${\displaystyle n}$.

Свойства

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,}$,

что можно записать на языке свёрток Дирихле как^[2]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$,

а через обращения Мёбиуса как

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Поскольку производящая функция Дирихле ${\displaystyle \mu }$ равна ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$, а производящая функция Дирихле ${\displaystyle n^{k}}$ равна ${\displaystyle \zeta (s-k)}$, ряд для ${\displaystyle J_{k}}$ превращается в

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• Средний порядок^[англ.] для ${\displaystyle J_{k}(n)}$ равен

${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• Пси-функция Дедекинда равна

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом ${\displaystyle p_{-k}}$), можно показать, что арифметические функции, определённые как ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ или ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$, являются целочисленными мультипликативными функциями.

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$.       ^[3][4]

Порядок групп матриц

Полная линейная группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок^[5]

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

Специальная линейная группа порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

Симплектическая группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Первые две формулы были открыты Жорданом.

Примеры

Списки в OEIS J₂ в A007434, J₃ в A059376, J₄ в A059377, J₅ в A059378, от J₆ до J₁₀ в списках A069091 — A069095.

Мультипликативные функции, определённые отношением J₂(n)/J₁(n) в A001615, J₃(n)/J₁(n) в A160889, J₄(n)/J₁(n) в A160891, J₅(n)/J₁(n) в A160893, J₆(n)/J₁(n) в A160895, J₇(n)/J₁(n) в A160897, J₈(n)/J₁(n) в A160908, J₉(n)/J₁(n) в A160953, J₁₀(n)/J₁(n) в A160957, J₁₁(n)/J₁(n) в A160960.

Примеры отношений J_2k(n)/J_k(n): J₄(n)/J₂(n) в A065958, J₆(n)/J₃(n) в A065959 и J₈(n)/J₄(n) в A065960.

Примечания

1. Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“ ${\displaystyle J:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ со следующим свойством: всякая конечная группа G из ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом ${\displaystyle \leqslant L(n)}$.»
2. Sándor, Crstici, 2004, с. 106.
3. Holden, Orrison, Varble.
4. Формула Гегенбауэра
5. Andrica, Piticari, 2004.

Литература

• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. — Chelsea Publishing, 1971. — С. 147. — ISBN 0-8284-0086-5.
• M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory. — Springer-Verlag, 2001. — Т. 206. — С. 11. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95143-1.
• Jozsef Sándor, Borislav Crstici. Handbook of number theory II. — Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. — С. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7.
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Yet another Generalization of Euler's Totient Function. Архивировано 5 марта 2016 года.
• Dorin Andrica, Mihai Piticari. On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions // Acta universitatis Apulensis. — 2004. — № 7.

Ссылки

• Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — Москва: «Наука», 1980. — (Современная алгебра).