Минимальная поверхность Шварца

Минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Карлом Шварцем.

В 1880-х годах Шварц и его студент Е. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности^[1][2]. Им позднее дал названия Алан Шён в его фундаментальном отчёте, где он описал гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности^[3].

Поверхности генерировались с помощью симметрий: если дано решение задачи Плато для многоугольника, отражения поверхности относительно линий границы также даёт правильные минимальные поверхности, которые могут быть непрерывным образом соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречает плоскость под прямыми углами, то зеркальное отражение относительно плоскости также может быть присоединено к поверхности. Следовательно, если дан подходящий начальный многоугольник, вписанный в единичную ячейку, периодическая поверхность может быть построена^[4].

Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей^[5].

Они рассматривались как модели для периодических наноструктур в блок-сополимерах, электростанических эквипотенциальных поверхностях в кристаллах^[6] и гипотетических отрицательно искривлённых графитовых фазах^[7].

Поверхность Шварца P («Primitive» = «Примитивная»)

Поверхность Шварца P

Шён назвал эти поверхности «примитивными», поскольку они имеют два переплетённых конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решётки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, ячейки могут иметь форму любого прямоугольника, что даёт семейство минимальных поверхностей с одной и той же топологией^[8].

Поверхность можно аппроксимировать явной поверхностью

${\displaystyle \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=0\ }$^[9].

Поверхность P рассматривалась для разработки прототипов тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объёму и высокой пористостью^[10].

Поверхность Шварца D («Diamond» = «Алмаз»)

Поверхность Шварца D

Шён назвал эту поверхность «алмазом», поскольку она имеет два переплетающихся конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой полой версии алмазной структуры связи^[англ.]. В литературе эта поверхность иногда называется поверхностью F.

Поверхность может быть аппроксимирована явной поверхностью

${\displaystyle \sin(x)\sin(y)\sin(z)+\sin(x)\cos(y)\cos(z)+\cos(x)\sin(y)\cos(z)+\cos(x)\cos(y)\sin(z)=0.\ }$

Точное выражение существует в терминах эллиптических интегралов, основанных на параметризации Вейерштрасса — Эннепера^[11].

Поверхность Шварца H («Hexagonal» = «Шестиугольная»)

Поверхность Шварца H

Поверхность Шварца H подобна катеноиду с треугольной границей, что позволяет заполнить всё пространство.

Поверхность Шварца CLP («Crossed layers of parallels» = «Скрещённые слои параллелей»)

Поверхность Шварца CLP

Иллюстрации

• http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html
• Triply Periodic Surfaces of Genus 3
• Bicontinuous cubic phases based on triply periodic minimal surfaces
• Schwartz's Surface
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html

Примечания

1. Schwarz, 1933.
2. Neovius, 1883.
3. Schoen, 1970.
4. Karcher, Polthier, 1996, с. 2077–2104.
5. Alan Schoen geometry  (неопр.). Дата обращения: 30 июля 2020. Архивировано 26 мая 2020 года.
6. Mackay, 1985, с. 604–606.
7. Terrones, Mackay, 1994, с. 183–195.
8. Meeks, 1990, с. 77—936.
9. Triply Periodic Level Surfaces  (неопр.). Дата обращения: 10 февраля 2019. Архивировано 12 февраля 2019 года.
10. Shin, Kim, Jeong и др., 2012.
11. Gandy, Cvijović, Mackay, Klinowski, 1999, с. 543–551.

Литература

• H. A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1933.
• E. R. Neovius. Akad. Abhandlungen. — Helsingfors, 1883.
• Alan H. Schoen. Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections // NASA Technical Note TN D-5541. — 1970.
• Hermann Karcher, Konrad Polthier. Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. — 1996. — Сентябрь (т. 354, № 1715).
• Alan L. Mackay. Periodic minimal surfaces // Nature. — 1985. — Апрель (т. 314, № 6012). — doi:10.1038/314604a0.
• Terrones H., Mackay A. L. Negatively curved graphite and triply periodic minimal surfaces. — 1994. — Декабрь (вып. 15, № 1). — doi:10.1007/BF01277558.
• W. H. Meeks. The theory of triply-periodic minimal surfaces // Indiana University Math. Journal. — 1990. — Т. 39, вып. 3.
• Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. Finite Element Analysis of Schwarz P Surface Pore Geometries for Tissue-Engineered Scaffolds // Mathematical Problems in Engineering. — 2012. — doi:10.1155/2012/694194.
• Paul J.F. Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. Exact computation of the triply periodic D (`diamond') minimal surface // Chemical Physics Letters. — 1999. — Декабрь (т. 314, вып. 5–6, 10).