Полиформа

20 «свободных» тетраронов — трёхмерных полиформ, образованных соединением 4 ромбододекаэдров[1][2]. Количество «односторонних» тетраронов равно 28, так как 8 из 20 «свободных» тетраронов не могут быть совмещены со своими зеркальными копиями параллельным переносом и вращением[3][4]

Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7][10]

Правила соединения

[править | править код]

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:

  • Ячейки полиформы не должны перекрываться.
  • Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
    • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].

Симметрии

[править | править код]
Фигуры для игры Ubongo[англ.]

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][11]:

  • свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
  • односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
  • фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ

[править | править код]

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа
квадрат сторона полимино (англ. polyomino)[7][11]
сторона, угол псевдополимино[7][12]
полиплет (англ. polyplet)[13]
правильный треугольник сторона полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)[7][14]
правильный шестиугольник сторона полигекс (англ. polyhex)[7][15]
куб грань поликуб (англ. polycube)[7][16]
треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (англ. polyabolo)[17]
треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер[англ.] (англ. polydrafter)[18]
квадрат
(в трёхмерном пространстве) 		ребро (90°, 180°) полиминоид (англ. polyominoid)
ромбододекаэдр грань полирон (англ. polyrhon)[1][2]
отрезок конец (90°, 180°) полистик[англ.] (англ. polystick)[19]
5 тетрамино на квадратном паркете порядка 5[20], изображённые на диске Пуанкаре. «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной[21]

Полиформы на гиперболических паркетах

[править | править код]

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[22][21]. Так, на квадратном паркете порядка 5[20] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[21]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[23] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[22], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[24].

Примечания

[править | править код]
  1. ↑ 1 2 George Sicherman. Catalogue of Polyrhons. Дата обращения: 6 августа 2013. Архивировано 11 сентября 2015 года.
  2. ↑ 1 2 Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks. Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 20 октября 2015 года.
  3. ↑ Последовательность A038172 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. ↑ Последовательность A038173 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. ↑ Weisstein, Eric W. Polyform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. ↑ Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки. — 197. — С. 111 — 113.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Голомб С. В. Полимино. — 1975.
  8. ↑ Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. ↑ Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  10. ↑ Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — С. 5,68,72,83,104,106,140,149,162,168-169. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9.
  11. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. ↑ Miroslav Vicher. Polyforms. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 11 сентября 2015 года.
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Polyplet (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. ↑ Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Polyhex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. ↑ Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Polyabolo (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  18. ↑ Weisstein, Eric W. Polydrafter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  19. ↑ Weisstein, Eric W. Polystick (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  20. ↑ 1 2 Квадратный паркет порядка 5 — правильный паркет на гиперболической плоскости, в каждой вершине которого сходятся пять квадратов.
  21. ↑ 1 2 3 Последовательность A119611 в OEIS = Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  22. ↑ 1 2 Holy Hyperbolic Heptagons! Puzzle Zapper Blog. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 8 января 2015 года.
  23. ↑ В каждой вершине семиугольного паркета порядка 3 сходятся три правильных семиугольника.
  24. ↑ George Sicherman. Catalogue of Polyhepts. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 27 сентября 2015 года.

Литература

[править | править код]
  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.

Ссылки

[править | править код]