Свёртка тензора

У этого термина существуют и другие значения, см. Свёртка.

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности ${\displaystyle (m,n)}$ в тензор валентности ${\displaystyle (m-1,n-1)}$.

Определение

В простейшем случае, свёртка для простого тензора ${\displaystyle v\otimes f}$ типа ${\displaystyle (1,1)}$, определяется как скаляр ${\displaystyle f(v)}$. Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа ${\displaystyle (1,1)}$.

В общем случае, тензор типа ${\displaystyle (m,n)}$ можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности ${\displaystyle (n-1,m-1)}$ в пространство тензоров валентности ${\displaystyle (1,1)}$; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности ${\displaystyle (n-1,m-1)}$ в скаляры, то есть тензор валентности ${\displaystyle (m-1,n-1)}$. Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

Обозначения

В координатах она записывается следующим образом:

${\displaystyle {T_{j_{1},\dots ,{\underline {j_{0}}},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,i_{n}}}\rightarrow {T_{j_{1},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,i_{n}}}={T_{j_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,i_{n}}}}$

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по ${\displaystyle i_{0}}$.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, ${\displaystyle A_{j}^{i}B_{k}^{j}}$ есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

${\displaystyle A_{ij}B_{jk}=A_{ij}g^{jm}B_{mk}=A_{ij}B_{\ k}^{j}=C_{ik}}$

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры

• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
• Свёртка ${\displaystyle A_{\ j}^{i}v^{j}}$ вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
• Свёртка ${\displaystyle \ B_{ij}a^{i}b^{j}}$ векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором ${\displaystyle \ g_{ij}a^{i}b^{j}}$ дает их скалярное произведение.
• В том числе ${\displaystyle \ B_{ij}v^{i}v^{j}}$ — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
• Свёртка ${\displaystyle \ a_{j}b^{j}}$ ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
• Свёртка ${\displaystyle A_{\ j}^{j}}$ тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы ${\displaystyle A_{\ j}^{i}}$. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
• Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): ${\displaystyle B_{jk}^{i}=L_{jkp}^{i\ \ \ qr}A_{qr}^{p}}$

Свойства

• Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 2. — Москва: МЦНМО, 2014. — С. 347. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9.