Теорема Титце о продолжении

Теорема Титце о продолжении (или Теорема Титце — Урысона) даёт достаточные условия на функцию, заданную на подмножестве пространства и допускающую непрерывное продолжение на всё пространство.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — нормальное пространство и

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве ${\displaystyle A\subset X}$. Тогда существует непрерывная функция

${\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} }$,

такая, что ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$.

Более того, если ${\displaystyle f}$ ограничена, то функция ${\displaystyle F}$ может быть выбрана также ограниченной той же константой.

История

• Лёйтзен Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, для конечномерных вещественных векторных пространств.
• Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств.
• Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств.^[1][2]

Вариации и обобщения

• Эта теорема эквивалентна лемме Урысона.
• Если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве ${\displaystyle X}$, продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

См. также

• Теорема Киршбрауна о продолжении

Ссылки

1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Urysohn-Brouwer lemma", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
2. Urysohn, Paul (1925), "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen", Mathematische Annalen, 94 (1): 262—295, doi:10.1007/BF01208659.