Теорема взаимности

Теоре́ма взаи́мности — название множества связанных друг с другом теорем, описывающих взаимное изменение гармонических по времени плотностей электрического тока (источников) и возникающих электромагнитных полей в уравнениях Максвелла для линейной изотропной и негиротропной среды.

Вероятно, наиболее известной и общей из таких теорем является лемма Лоренца (и её частные случаи, такие как теорема Рэлея — Карсона), доказанная Хендриком Лоренцом в 1896 году после аналогичных результатов Рэлея и Гельмгольца применительно к звуковым волнам и свету соответственно. Проще говоря, лемма устанавливает, что взаимосвязь переменного тока и порождённого им электрического поля остаётся неизменной при смене мест точки, в которой протекает ток и точки, в которой наблюдается поле.

Лемма Лоренца

Пусть ток с плотностью ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ порождает электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ и магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$, при этом все три величины являются гармоническими функциями времени с угловой частотой ${\displaystyle \omega }$, то есть, их зависимость от времени описывается функцией ${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$. Пусть некоторый другой гармонический ток ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$, имеющий ту же угловую частоту ${\displaystyle \omega }$ порождает электрическое и магнитное поля ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$. Согласно лемме Лоренца, если среда удовлетворяет некоторым естественным условиям, то для любой поверхности ${\displaystyle S}$, ограничивающей объём ${\displaystyle V}$ верно следующее:

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]dV=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .}$

Это утверждение также можно сформулировать в дифференциальной форме (по теореме Гаусса — Остроградского)^[1]:

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].}$

Приведённая обобщённая форма утверждений обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно предполагается, что ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ локализованы (то есть, у каждой из этих функций компактный носитель), и что амплитуда волн на бесконечном удалении равна нулю. В таком случае интеграл по площади становится равным нулю и лемма принимает вид:

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,dV.}$

Этот результат иногда называют теоремой Рэлея — Карсона. Зачастую формула упрощается ещё больше, если рассматривать точечные дипольные источники. В таком случае интеграл обращается в нуль и остаётся просто произведение электрического поля на соответствующий дипольный момент токов. Для пренебрежимо тонких проводов, в свою очередь, получается произведение тока в одном проводе, умноженное на напряжение в другом, и наоборот.

В другом частном случае, когда объём ${\displaystyle V}$ целиком содержит оба локализованных источника (или если ${\displaystyle V}$ не содержит ни один из источников), лемма принимает вид:

${\displaystyle \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .}$

См. также

• Метод эквивалентного генератора
• Законы Кирхгофа
• Теорема Тевенина
• Теорема Нортона

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М. : Гостехиздат, 1957. — 532 с. — (Теоретическая физика).
• Ronold W. P. King. Fundamental Electromagnetic Theory (Dover: New York, 1963). §IV.21.
• C. Altman and K. Such. Reciprocity, Spatial Mapping and Time Reversal in Electromagnetics (Kluwer: Dordrecht, 1991).
• H. A. Lorentz. "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light, " (недоступная ссылка) Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
• R. J. Potton. «Reciprocity in optics», Reports on Progress in Physics 67, 717—754 (2004). (A review article on the history of this topic.)
• J. R. Carson. «A generalization of reciprocal theorem» Bell System Technical Journal 3 (3), 393—399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem, " ibid. 9 (4), 325—331 (1930).
• Ya. N. Feld. «On the quadratic lemma in electrodynamics» Sov. Phys—Dokl. 37, 235—236 (1992).
• C.-T. Tai. «Complementary reciprocity theorems in electromagnetic theory» IEEE Trans. Antennas Prop. 40 (6), 675—681 (1992).
• Wolfgang K. H. Panofsky and Melba Phillips. Classical Electricity and Magnetism. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Примечания

1. Семенов Н.А. Лемма Лоренца. Теоремы взаимности // Техническая электродинамика. — Москва: «Связь», 1973. — С. 150. — 480 с.