Теорема об инвариантности области

Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

История

Теорема доказана Брауэром.^[1] Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.^[2]

Формулировка

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ  ${\displaystyle B=f(U)}$ является открытым подмножеством в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и ${\displaystyle f}$ задаёт гомеоморфизм между ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle B}$.

Образ инъективного непрерывного отображения открытого интервала в плоскость, негомеоморфное исходному интервалу.

Замечания

• Заключение теоремы можно сформулировать так:
  • ${\displaystyle f}$ является открытым отображением.
• Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности.
• Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига

  ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}$

гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.

Следствия

• Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны.
• С помощью теоремы доказываются многие теоремы существования для выпуклых многогранников, в том числе существование выпуклого многогранника с данной развёрткой.^[3]

Вариации и обобщения

• Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности.
• Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.^[4]

Примечеания

1. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; см. также 72 (1912), pages 55–56
2. Александров А. Д. Избранные труды. — Новосибирск: Наука, 2007. — Т. 2 (Выпуклые многогранники). — iv + 492 с. — 700 экз. — ISBN 978-5-02-023184-9. Архивировано 5 марта 2016 года.
3. А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608.
4. Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.