Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши (в квантовой теории поля) — это тождество между корреляционными функциями, которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое выполняется после перенормировки.

Тождество Уорда — Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом^[1] и Ясуси Такахаси^[2] для того, чтобы связать перенормировку волновой функции электрона с его вершинным коэффициентом перенормировки, гарантируя устранение ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений. Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда — Такахаши представляет собой квантовую версию классического закона сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщённых тождеств Уорда — Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Есть обобщённые соотношения, которые следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера^[3], от оригинального тождества Уорда — Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда — Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова — Тейлора.

Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Пусть

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

— корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ — вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование по ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$), n электронов в начальном состоянии с импульсами ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$, и n электронов конечного состояния с импульсами ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$. Также по определению ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ — это более простая амплитуда, полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда — Такахаши гласит:

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right]\,.}$

${\displaystyle \left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]}$

где e — заряд электрона имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеется по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в элементы S-матрицы.

Тождество Уорда

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда — Такахаши на элементах S-матрицы, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ — вектор поляризации фотона. Затем тождество Уорда гласит:

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Его использование включает ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по траекториям

В формулировке интеграла по траекториям тождества Уорда — Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования. Точнее, если ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ представляет собой калибровочное преобразование с помощью ${\displaystyle \varepsilon }$ (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры), тогда

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

выражает инвариантность функциональной меры, где ${\displaystyle S}$ — действие и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — функционал полей. Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

для некоторого тока J (как функционала от полей ${\displaystyle \phi }$) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда — Такахаши записываются в виде

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$.

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии, то

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

где ${\displaystyle S}$ — калибровочно-инвариантное действие и ${\displaystyle S_{\mathrm {gf} }}$ — некалибровочно-инвариантный вклад, фиксирующий калибровку.

Но обратите внимание, что даже если глобальной симметрии нет (то есть симметрия нарушена), у нас всё равно есть тождество Уорда — Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет соотношению

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — некоторый функционал полей ${\displaystyle \phi }$, то имеется аномальное тождество Уорда — Такахаши, например, когда у поля есть киральная аномалия.

Примечания

1. Ward, John Clive (1950). "An Identity in Quantum Electrodynamics". Physical Review. 78 (2). Bibcode:1950PhRv...78..182W. doi:10.1103/PhysRev.78.182.
2. Takahashi, Yasushi (1957). "On the generalized ward identity". Il Nuovo Cimento. 6 (2): 371—375. Bibcode:1957NCim....6..371T. doi:10.1007/BF02832514.
3. Peskin, Michael E. An Introduction to Quantum Field Theory / Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder. — Westview Press, 1995. — ISBN 978-0-201-50397-5.