Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

Общая теория относительности
Введение^[англ.] · История^[англ.] Математическая формулировка Предсказания
Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманово многообразие
Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта Расхождение геодезических Горизонт событий Гравитационная сингулярность Чёрная дыра · Белая дыра Космологическая сингулярность Гравитомагнетизм
Уравнения Уравнения Эйнштейна · Космологическая постоянная · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм
Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории
Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность
Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity
Связанные темы Гравитация · Золотой век ОТО
См. также: Портал:Физика

Ричард Арновитт^[англ.], Стенли Дезер и Чарльз Мизнер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation,^[1] в честь 50-летия их основной работы, ноябрь 2009 года.

Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм (англ. ADM formalism) — разработанная в 1959 году Ричардом Арновиттом^[англ.], Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером гамильтонова формулировка общей теории относительности. Она играет важную роль в квантовой гравитации и численной относительности.

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» (англ. The Dynamics of General Relativity) был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией Луиса Виттена, Wiley NY (1962); chapter 7, pp. 227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в Эйнштейновском сборнике^[2]. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале General Relativity and Gravitation в серии классических работ по гравитации^[3] Исходные работы авторов выходили в Physical Review.^{[4][5][6][7][8][9][10][11][12]}

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время можно расслоить на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей ${\displaystyle \Sigma _{t}}$, которые нумеруются при помощи временной координаты ${\displaystyle t}$, а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты ${\displaystyle x^{i}}$. Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: метрический тензор на этих гиперповерхностях ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ и сопряжённый с ним тензор канонических импульсов ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$. Из этих переменных выражается гамильтониан, соответствующий уравнениям Эйнштейна, и таким образом, уравнения движения общей теории относительности оказываются записанными в гамильтоновой форме.

Кроме 12 переменных ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ и ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 лагранжевых множителя: функции хода (англ. the lapse function) ${\displaystyle N}$, и функции сдвига — компоненты 3-вектора (англ. shift vector field) ${\displaystyle N_{i}}$. Они описывают, как точки ${\displaystyle x^{i}=const}$ на соседних слоях ${\displaystyle \Sigma _{t},t=const}$ связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора координатной системы для описания пространства-времени.

Вывод

Обозначения

Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться ${\displaystyle g_{ij}}$, а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как ${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$.

Примечания

1. ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation  (неопр.). Дата обращения: 28 июня 2021. Архивировано из оригинала 20 июля 2011 года.
2. Р. АРНОВИТТ, С. ДИЗЕР и К. В. МИСНЕР. ДИНАМИКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ // Эйнштейновский сборник, 1966. — М.: Наука, 1967. — С. 233—286. — 370 с. — 10 000 экз..
3. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Republication of: The dynamics of general relativity (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 2008. — Vol. 40, no. 9. — P. 1997—2027. — doi:10.1007/s10714-008-0661-1. — Bibcode: 2008GReGr..40.1997A. — arXiv:gr-qc/0405109.
4. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity (англ.) // Physical Review : journal. — 1959. — Vol. 116, no. 5. — P. 1322—1330. — doi:10.1103/PhysRev.116.1322. — Bibcode: 1959PhRv..116.1322A.
5. Arnowitt R., Deser S. Quantum Theory of Gravitation: General Formulation and Linearized Theory (англ.) // Physical Review : journal. — 1959. — Vol. 113, no. 2. — P. 745—750. — doi:10.1103/PhysRev.113.745. — Bibcode: 1959PhRv..113..745A.
6. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Canonical Variables for General Relativity (англ.) // Physical Review : journal. — 1960. — Vol. 117, no. 6. — P. 1595—1602. — doi:10.1103/PhysRev.117.1595. — Bibcode: 1960PhRv..117.1595A.
7. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Finite Self-Energy of Classical Point Particles (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1960. — Vol. 4, no. 7. — P. 375—377. — doi:10.1103/PhysRevLett.4.375. — Bibcode: 1960PhRvL...4..375A.
8. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Energy and the Criteria for Radiation in General Relativity (англ.) // Physical Review : journal. — 1960. — Vol. 118, no. 4. — P. 1100—1104. — doi:10.1103/PhysRev.118.1100. — Bibcode: 1960PhRv..118.1100A.
9. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Gravitational-Electromagnetic Coupling and the Classical Self-Energy Problem (англ.) // Physical Review : journal. — 1960. — Vol. 120. — P. 313—320. — doi:10.1103/PhysRev.120.313. — Bibcode: 1960PhRv..120..313A.
10. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Interior Schwarzschild Solutions and Interpretation of Source Terms (англ.) // Physical Review : journal. — 1960. — Vol. 120. — P. 321—324. — doi:10.1103/PhysRev.120.321. — Bibcode: 1960PhRv..120..321A.
11. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Wave Zone in General Relativity (англ.) // Physical Review : journal. — 1961. — Vol. 121, no. 5. — P. 1556—1566. — doi:10.1103/PhysRev.121.1556. — Bibcode: 1961PhRv..121.1556A.
12. Arnowitt R., Deser S., Misner C. Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity (англ.) // Physical Review : journal. — 1961. — Vol. 122, no. 3. — P. 997—1006. — doi:10.1103/PhysRev.122.997. — Bibcode: 1961PhRv..122..997A.

Литература

• Kiefer, Claus. Quantum Gravity (англ.). — Oxford, New York: Oxford University Press, 2007. — ISBN 978-0-19-921252-1.