Алгебра вершинных операторов

Ричард Борчердс

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.) и доказательство гипотезы чудовищного вздора.

Примеры

• Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это ещё один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ^†(z) определяются выражением:

${\displaystyle \psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I.}$

Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем

${\displaystyle \phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I}$

принимает вид

${\displaystyle \phi (z)=\;\colon \psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\colon }$

${\displaystyle \psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon }$

где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.

• Решётка √2 Z в R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями

${\displaystyle H(z)=\phi (z)\otimes I-I\otimes \phi (z)}$

${\displaystyle E(z)=\psi (z)\otimes \psi ^{\dagger }(z)}$

${\displaystyle F(z)=\psi ^{\dagger }(z)\otimes \psi (z)}$

Литература

• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — Ижевск: РХД 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7.
• Шехтман В. В. Вертексные алгебры, связанные с алгебраическими многообразиями. — С. 91-104 Архивная копия от 8 февраля 2013 на Wayback Machine.